Calcule a integral de linha onde C é a curva dada.
integralC x z y^2 d s, C é o segmento de reta de (-1,5,0) a (1,6,4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=x z y^2 ao longo do segmento de reta C que vai de (-1,5,0) a (1,6,4). O conteúdo envolvido é parametrização de curva e integral de linha de função escalar, e vamos precisar: parametrizar C, calcular ds e montar a integral.

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo P0(-1,5,0) a P1(1,6,4) por r(t)=P0+t(P1-P0), tin[0,1]. Assim:
$$ \mathbf r(t)=(-1+2t,;5+t,;4t) $$

Passo 3

Calculamos o elemento de arco ds usando ds=| r'(t)|,dt. Como r'(t)=(2,1,4),
$$ |\mathbf r’(t)|=\sqrt{22+12+4^2}=\sqrt{21} $$
Logo | r'(t)|=raiz2^2+1^2+4^2=raiz21 .

Passo 4

Expressamos a integral de linha como
$$ \int_C xzy^2,ds = \int_0^1 f(\mathbf r(t)),|\mathbf r’(t)|,dt = \sqrt{21}\int_01(-1+2t),(4t),(5+t)2,dt. $$

Passo 5

Dentro da integral expandimos o integrando. Primeiro
$ (-1+2t)(4t)= -4t+8t^2
Então o produto com (5+t)^2=25+10t+t^2
$ (-4t+8t^2)(25+10t+t^2)= -100t+80t^2 -40t^2+
Na prática, somando todos os termos resulta em
$$ -25t + 40t^2 + 19t^3 + 2t^4. $$

Passo 6

Integramos polinômio de 0 a 1:
$$
\int_01(-25t+40t2+19t3+2t4),dt = -\frac{25}{2}+\frac{40}{3}+\frac{19}{4}+\frac{2}{5} = \frac{359}{60}. $$
Multiplicando por integral0^1(-25t+40t^2+19t^3+2t^4),dt = -252+403+194+25 = 35960 e pelo fator original raiz21 (vindos de 4 no integrando):
$$ 4\sqrt{21}\times\frac{359}{60} = \frac{359\sqrt{21}}{15}. $$

Resposta

359raiz2115

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