Calcule a integral de linha onde
é a curva dada.
é o segmento de reta de
a
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar
ao longo do segmento de reta
que vai de
a
. O conteúdo envolvido é parametrização de curva e integral de linha de função escalar, e vamos precisar: parametrizar
, calcular
e montar a integral.
Passo 2
Parametrizamos o segmento unindo
a
por
,
. Assim:
$$ \mathbf r(t)=(-1+2t,;5+t,;4t) $$
Passo 3
Calculamos o elemento de arco
usando
. Como
,
$$ |\mathbf r’(t)|=\sqrt{22+12+4^2}=\sqrt{21} $$
Logo .
Logo
Passo 4
Expressamos a integral de linha como
$$ \int_C xzy^2,ds = \int_0^1 f(\mathbf r(t)),|\mathbf r’(t)|,dt = \sqrt{21}\int_01(-1+2t),(4t),(5+t)2,dt. $$
Passo 5
Dentro da integral expandimos o integrando. Primeiro
$
Então o produto com dá
$
Então o produto com
$
Na prática, somando todos os termos resulta em
$$ -25t + 40t^2 + 19t^3 + 2t^4. $$
Passo 6
Integramos polinômio de
a
:
$$
\int_01(-25t+40t2+19t3+2t4),dt = -\frac{25}{2}+\frac{40}{3}+\frac{19}{4}+\frac{2}{5} = \frac{359}{60}. $$
Multiplicando por e pelo fator original
(vindos de
no integrando):
$$ 4\sqrt{21}\times\frac{359}{60} = \frac{359\sqrt{21}}{15}. $$
Multiplicando por
$$ 4\sqrt{21}\times\frac{359}{60} = \frac{359\sqrt{21}}{15}. $$