Resolva as seguintes equações homogêneas
y^{\prime}=\frac{x+y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = \frac{x + y}{\,x - y\,},
que é homogênea (o quociente do lado direito depende de y/x). Para esse tipo de equação, usamos a substituição
y = v\,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y = v x, temos
y' = \frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original,
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{x + v x}{\,x - v x\,} = \frac{1 + v}{\,1 - v\,}.

Passo 3

Isolamos \displaystyle \frac{dv}{dx} e separamos as variáveis:
x\,\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v(1 - v)}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v},
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\frac{1 - v}{1 + v^2}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1 - v}{1 + v^2}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo, separamos
\int \frac{1}{1 + v^2}\,dv - \int \frac{v}{1 + v^2}\,dv = \arctan(v) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1 + v^2\bigr).
Portanto
\arctan(v) - \tfrac12\ln\bigl(1+v^2\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original v = y/x, obtemos a solução implícita
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) - \frac{1}{2}\,\ln\bigl(1 + (y/x)^2\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.
Reorganizando os logaritmos,
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) - \tfrac12\ln\bigl(x^2 + y^2\bigr) = C.

Resposta

\boxed{ \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) - \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^2 + y^2\bigr) = C }

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