Determine o maior subconjunto D onde a função está bem definida
f(x)=arctg(arcsen(19-x^2)9 x^2-1)
(1) D=[-raiz10, raiz10]
(2)
D=[-raiz1+19,-raiz19) cup(-raiz19, raiz19) cup(raiz19, raiz1+19]
(3)
D=(-1,-raiz19) cup(-raiz19, raiz19) cup(raiz19, 1)
(4) D=[-raiz9, raiz9]
(5) D=[-raiz1+19, raiz1+19]

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x)=arctanl(tfracarcsin(tfrac19-x^2)9x^2-1r). O objetivo é achar o domínio D onde f está bem definida, ou seja, onde arcsin e a fração têm sentido e o denominador não zera.

Passo 2

Para que arcsinl(tfrac19-x^2r) exista, precisamos que
-1 <= tfrac19-x^2 <= 1

Passo 3

Da desigualdade -1 <= tfrac19-x^2 temos
-x^2 >= -1 - tfrac19 implies x^2 <= 1 + tfrac19 = tfrac109

Passo 4

tfrac19-x^2 <= 1 vira -x^2 <= tfrac89, o que é sempre verdade pois x^2>=0. Logo sobra
x^2 <= tfrac109 implies |x| <= raiztfrac109

Passo 5

A única outra restrição vem do denominador:
9x^2 - 1 neq 0 implies x^2 neq tfrac19 implies x neq pm tfrac13

Passo 6

Portanto, unindo as condições, temos |x|<=raiz10/9 excluindo x=pm1/3.
Assim o domínio é
[-raiz10/9,,-1/3);cup;(-1/3,,1/3);cup;(1/3,,raiz10/9]

Resposta

D = [-raiz10/9,,-1/3)cup(-1/3,,1/3)cup(1/3,,raiz10/9] (opção (2)).

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