Encontre, em cada um dos ítens abaixo, d yd x, onde y=y(x) é dada implicitamente pelas equações abaixo:
(g) x arctan (x)+y^2=4

Passo 1

Nesse exercício temos a equação implícita
x,arctan(x) + y^2 = 4
O conteúdo é derivação implícita, em que vamos usar regra do produto para xarctan(x) e regra da cadeia para y^2.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x:
Para xarctan(x) aplicamos a regra do produto:
ddx[xarctan(x)] = 1cdotarctan(x) + xcdot11+x^2 = arctan(x) + x1+x^2
Para y^2 usamos regra da cadeia:
ddx[y^2] = 2ydydx
O lado direito 4 é constante, logo a derivada é zero.

Passo 3

Agora agrupamos os termos que envolvem dydx e isolamos essa derivada:
arctan(x) + x1+x^2 + 2ydydx = 0
2ydydx = -l(arctan(x) + x1+x^2r)
Logo,
dydx = -arctan(x) + x1+x^22y

Resposta

-arctan(x) + x1+x^22y

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