Usando os conceitos de Transformada de Laplace e sua inversa resolva:
Determine a transformada de Laplace de
Determine a transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
Informações relevantes que temos:
- A variável é
(tempo), e queremos . - A transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada termo separadamente e somar.
- Vou tratar
como a variável complexa da transformada; ao final indico a região de convergência.
Passo 2
Lembrete da definição e propriedades que vou usar:
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
quando a integral converge.
- Linearidade: para constantes
,
- Transformada básica de potência: para inteiro
,
- Transformada de cosseno: para
,
- Propriedade de deslocamento na variável
(exponencial multiplicativa): se , então
Aqui
é real positivo quando temos
.
Passo 3
Transformada do primeiro termo
.
Posso usar a fórmula
(caso particular da fórmula de potências com
), com região de convergência
. Assim
(Se quiser ver direto pela integral:
faz-se por partes e dá
.)
Passo 4
Transformada de
.
Primeiro a transformada de
é, pelo item anterior,
Agora uso a propriedade de deslocamento em
: multiplicar por
corresponde a substituir
por
na transformada de
. Assim
com região de convergência
, isto é
. Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Somando as duas partes por linearidade obtemos a transformada total:
Região de convergência: a interseção das condições de cada termo é
(pois o primeiro termo exige
e o segundo exige
; a interseção é
).