Usando os conceitos de Transformada de Laplace e sua inversa resolva:
Determine a transformada de Laplace de
y=2 t+3 t^{-2 t} \cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
y(t)=2t+3e^{-2t}\cos 3t.
Informações relevantes que temos:
  • A variável é t (tempo), e queremos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • A transformada de Laplace é linear, então podemos transformar cada termo separadamente e somar.
  • Vou tratar s como a variável complexa da transformada; ao final indico a região de convergência.

Passo 2

Lembrete da definição e propriedades que vou usar:
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
quando a integral converge.
  • Linearidade: para constantes a,b,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
  • Transformada básica de potência: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad \text{para }\Re(s)>0.
  • Transformada de cosseno: para a>0,
\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\quad \text{para }\Re(s)>0.
  • Propriedade de deslocamento na variável s (exponencial multiplicativa): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}(s)=F(s+a).
Aqui a é real positivo quando temos e^{-at}.

Passo 3

Transformada do primeiro termo 2t.
Posso usar a fórmula \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} (caso particular da fórmula de potências com n=1), com região de convergência \Re(s)>0. Assim
\mathcal{L}\{2t\}(s)=2\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{2}},\qquad \Re(s)>0.
(Se quiser ver direto pela integral: \int_{0}^{\infty}2t e^{-st}\,dt faz-se por partes e dá 2/s^{2}.)

Passo 4

Transformada de \;3e^{-2t}\cos 3t.
Primeiro a transformada de \cos 3t é, pelo item anterior,
\mathcal{L}\{\cos 3t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+3^{2}}=\frac{s}{s^{2}+9},\qquad \Re(s)>0.
Agora uso a propriedade de deslocamento em s: multiplicar por e^{-2t} corresponde a substituir s por s+2 na transformada de \cos 3t. Assim
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 3t\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+9},
com região de convergência \Re(s+2)>0, isto é \Re(s)>-2. Multiplicando por 3 obtemos
\mathcal{L}\{3e^{-2t}\cos 3t\}(s)=3\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+9}.

Passo 5

Somando as duas partes por linearidade obtemos a transformada total:
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}}+3\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+9}.
Região de convergência: a interseção das condições de cada termo é \Re(s)>0 (pois o primeiro termo exige \Re(s)>0 e o segundo exige \Re(s)>-2; a interseção é \Re(s)>0).

Resposta

Y(s)=\frac{2}{s^{2}}+\frac{3(s+2)}{(s+2)^{2}+9},\qquad \Re(s)>0

Exercícios relacionados