Determine a massa de um avião viajando a 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a uma altura de 3.000 m do solo, cuja energia mecânica total é de 70 \times 10^{6} \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado dá um avião de massa m que se desloca com velocidade \,200\mathrm{~m/s} a uma altura de \,3000\mathrm{~m} e cuja energia mecânica total é \,70\times10^{6}\mathrm{~J}. O conteúdo envolvido é energia mecânica, que é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional.

Passo 2

A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
E_{c} = \frac{1}{2}\,m\,v^{2},
e a energia potencial gravitacional a uma altura h vale
E_{p} = m\,g\,h,
onde g\approx9{,}8\mathrm{~m/s^{2}}. A energia mecânica total é
E_{\text{mec}} = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2}m\,v^{2} + m\,g\,h.

Passo 3

Fatorando m em E_{\text{mec}}, temos
E_{\text{mec}} = m\bigl(\tfrac{1}{2}v^{2} + g\,h\bigr).
Para encontrar m, basta isolar:
m = \frac{E_{\text{mec}}}{\tfrac{1}{2}v^{2} + g\,h}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
\tfrac{1}{2}v^{2} = \tfrac{1}{2}\,(200)^{2} = 20000\mathrm{~J/kg},
g\,h = 9{,}8 \times 3000 = 29400\mathrm{~J/kg},
logo o denominador é
\tfrac{1}{2}v^{2} + g\,h = 20000 + 29400 = 49400\mathrm{~J/kg}.
E a energia total é E_{\text{mec}} = 70\times10^{6}\mathrm{~J} = 7{,}0\times10^{7}\mathrm{~J}.

Passo 5

Substituindo em m = E_{\text{mec}}/(\tfrac{1}{2}v^{2} + g\,h):
m = \frac{7{,}0\times10^{7}}{49400}\approx1{,}42\times10^{3}\mathrm{~kg}.

Resposta

A massa do avião é aproximadamente 1{,}4\times10^{3}\mathrm{~kg}.

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