(2,0 pontos) Uma substância radioativa tem meia-vida de 8 horas. Se \rightarrow \frac{d-y}{d t}=k
120 g estão presentes no início, quanto restará após 24 horas?

Passo 1

O enunciado diz que uma substância radioativa decai segundo uma lei de decaimento exponencial com meia-vida de 8 h. O conteúdo é EDO de primeira ordem separável. Vamos formular a equação diferencial do decaimento, resolver em termos de constantes e depois usar as condições de meia-vida e valor inicial para achar a solução particular e calcular o valor em 24 h.

Passo 2

A equação diferencial do decaimento exponencial é
\frac{dy}{dt}=k\,y
onde k é a constante de decaimento. Pela teoria de EDOs separáveis, a solução geral é
y(t)=C\,e^{k\,t}
para alguma constante C.

Passo 3

A meia-vida de 8 h significa y(8)=\tfrac12\,y(0). Como
y(8)=C\,e^{8k} \quad\text{e}\quad y(0)=C,
temos
C\,e^{8k}=\tfrac12\,C \quad\Longrightarrow\quad e^{8k}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\ln(\tfrac12)}{8}=-\frac{\ln 2}{8}.

Passo 4

No início y(0)=120 g, logo C=120. A solução particular fica
y(t)=120\,e^{-\frac{\ln 2}{8}\,t} =120\cdot 2^{-\frac{t}{8}}.

Passo 5

Para t=24 h,
y(24)=120\cdot 2^{-\frac{24}{8}} =120\cdot 2^{-3} =120\cdot\frac{1}{8} =15.

Resposta

Após 24 horas restarão 15 g da substância.

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