) Encontre o centroide do sólido limitado pelo cilindro parabólico
e as planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o centroide do sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
O conteúdo é cálculo de centroide via integrais triplas. Precisamos (1) determinar a região de integração, (2) calcular o volume
, (3) calcular
,
,
.
Passo 2
Descrevemos a região
em coordenadas cartesianas:
- De
até (pois e exige ). - De
até (pois ). - De
.
Logo
Passo 3
Calculamos o volume
Primeiro
Depois
Passo 4
Calculamos
:
Temos
Então
Logo
Passo 5
Por simetria em
(função ímpar em
integrada em
),
Passo 6
Calculamos
:
Como é função par em
, fazemos
vezes a integral de
a
. Após calcular, obtém-se
Então