) Encontre o centroide do sólido limitado pelo cilindro parabólico z=1-y^{2} e as planos x+z=1, x=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o centroide do sólido limitado pelo cilindro parabólico
z = 1 - y^2
e pelos planos
x + z = 1,\quad x = 0,\quad z = 0.
O conteúdo é cálculo de centroide via integrais triplas. Precisamos (1) determinar a região de integração, (2) calcular o volume V, (3) calcular \bar x = \frac{1}{V}\iiint x\,dV, \bar y = \frac{1}{V}\iiint y\,dV, \bar z = \frac{1}{V}\iiint z\,dV.

Passo 2

Descrevemos a região \mathcal{R} em coordenadas cartesianas:
  • De z=0 até z=1-y^2 (pois z\le1-y^2 e 1-y^2\ge0 exige -1\le y\le1).
  • De x=0 até x=1-z (pois x+z\le1).
  • De -1\le y\le1.
    Logo
\mathcal{R}=\{(x,y,z)\mid y\in[-1,1],\;z\in[0,1-y^2],\;x\in[0,1-z]\}.

Passo 3

Calculamos o volume
V=\int_{y=-1}^{1}\int_{z=0}^{1-y^2}\int_{x=0}^{1-z} dx\,dz\,dy =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-y^2}(1-z)\,dz\,dy.
Primeiro
\int_{0}^{1-y^2}(1-z)\,dz =\Bigl[z-\tfrac{z^2}{2}\Bigr]_{0}^{1-y^2} =(1-y^2)-\tfrac{(1-y^2)^2}{2} =\tfrac{1-y^4}{2}.
Depois
V=\tfrac12\int_{-1}^{1}(1-y^4)\,dy =\tfrac12\Bigl[\,y-\tfrac{y^5}{5}\Bigr]_{-1}^{1} =\tfrac12\cdot\tfrac{8}{5} =\tfrac{4}{5}.

Passo 4

Calculamos \bar x:
\iiint x\,dV =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-y^2}\int_{0}^{1-z} x\,dx\,dz\,dy =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-y^2}\tfrac{(1-z)^2}{2}\,dz\,dy.
Temos
\int_{0}^{1-y^2}\tfrac{(1-z)^2}{2}\,dz =\tfrac{1}{6}\bigl(1-y^6\bigr).
Então
\iiint x\,dV =\tfrac{1}{6}\int_{-1}^{1}(1-y^6)\,dy =\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{12}{7} =\tfrac{2}{7}.
Logo
\bar x =\frac{\,2/7\,}{\,4/5\,} =\frac{2}{7}\cdot\frac{5}{4} =\frac{5}{14}.

Passo 5

Por simetria em y (função ímpar em y integrada em [-1,1]), \bar y=0.

Passo 6

Calculamos \bar z:
\iiint z\,dV =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-y^2}z\,(1-z)\,dz\,dy =\int_{-1}^{1}\Bigl[\tfrac12(1-y^2)^2-\tfrac13(1-y^2)^3\Bigr]dy.
Como é função par em y, fazemos 2 vezes a integral de 0 a 1. Após calcular, obtém-se
\iiint z\,dV =\frac{8}{35}.
Então
\bar z =\frac{\,8/35\,}{\,4/5\,} =\frac{8}{35}\cdot\frac{5}{4} =\frac{2}{7}.

Resposta

(\bar x,\bar y,\bar z) =\bigl(\tfrac{5}{14},\,0,\,\tfrac{2}{7}\bigr).

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