(2 Pontos) Em um determinado bairro residencial, 60 \% de todos os lares assinam o jornal metropolitano publicado em uma cidade próxima, 80 \% assinam o jornal local e 50 \% de todos os lares assinam os dois. Se um lar for selecionado aleatoriamente, qual será a probabilidade de ele assinar exatamente um dos dois jornais? R: 40 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações sobre um lar escolhido aleatoriamente:
  • 60\% dos lares assinam o jornal metropolitano.
  • 80\% dos lares assinam o jornal local.
  • 50\% dos lares assinam os dois jornais (ou seja, assinam simultaneamente o metropolitano e o local).
A pergunta que precisamos responder é: qual a probabilidade de um lar assinar exatamente um dos dois jornais (ou seja, assinar um mas não o outro)?

Passo 2

Vamos nomear eventos e explicar a notação (para ficar tudo claro):
  • Seja A o evento “o lar assina o jornal metropolitano”.
  • Seja B o evento “o lar assina o jornal local”.
  • A probabilidade de interesse é a de “exatamente um dos dois”, que corresponde ao evento (A\cap B^c)\cup(B\cap A^c). Em palavras: o lar assina A e não B, ou assina B e não A.
Aqui B^c denota o complemento de B (os lares que não assinam B), e A^c o complemento de A.

Passo 3

Escrevendo a probabilidade que queremos em termos de probabilidades básicas:
P(\text{exatamente um}) = P(A\cap B^c) + P(B\cap A^c).
Isso porque os dois eventos A\cap B^c e B\cap A^c são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), então a probabilidade da união é a soma das probabilidades.

Passo 4

Agora relacionamos P(A\cap B^c) e P(B\cap A^c) com probabilidades que temos:
  • Qual é P(A\cap B^c)? É a parte de A que não está em A\cap B. Assim
P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B).
  • Analogamente,
P(B\cap A^c)=P(B)-P(A\cap B).
Somando:
P(\text{exatamente um}) = \bigl(P(A)-P(A\cap B)\bigr) + \bigl(P(B)-P(A\cap B)\bigr).

Passo 5

Substituindo os números dados (vou trocar porcentagens por números entre 0 e 1):
P(A)=0,6,\qquad P(B)=0,8,\qquad P(A\cap B)=0,5.
Então
P(A\cap B^c)=0,6-0,5=0,1,
P(B\cap A^c)=0,8-0,5=0,3.
Somando:
P(\text{exatamente um})=0,1+0,3=0,4.

Passo 6

(Observação alternativa — fórmula direta) Outra forma curta é usar a identidade
P(\text{exatamente um})=P(A)+P(B)-2P(A\cap B),
que se obtém reagrupando termos da soma anterior. Substituindo os valores:
0,6+0,8-2\cdot0,5=1,4-1,0=0,4.
Ambas as vias dão o mesmo resultado.

Passo 7

Interpretação prática: 0,4 corresponde a 40\%. Visualmente, se desenhar um diagrama de Venn, a região só do metropolitano tem 10\% e a região só do local tem 30\%; juntos dão 40\%. Dica para a prova: desenhe rápido o Venn ou memorize a fórmula P(A)+P(B)-2P(A\cap B) para “exatamente um”.

Resposta

40\%

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