(2 Pontos) Em um determinado bairro residencial,
de todos os lares assinam o jornal metropolitano publicado em uma cidade próxima,
assinam o jornal local e
de todos os lares assinam os dois. Se um lar for selecionado aleatoriamente, qual será a probabilidade de ele assinar exatamente um dos dois jornais? R:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações sobre um lar escolhido aleatoriamente:
-
dos lares assinam o jornal metropolitano. -
dos lares assinam o jornal local. -
dos lares assinam os dois jornais (ou seja, assinam simultaneamente o metropolitano e o local).
A pergunta que precisamos responder é: qual a probabilidade de um lar assinar exatamente um dos dois jornais (ou seja, assinar um mas não o outro)?
Passo 2
Vamos nomear eventos e explicar a notação (para ficar tudo claro):
- Seja
o evento “o lar assina o jornal metropolitano”. - Seja
o evento “o lar assina o jornal local”. - A probabilidade de interesse é a de “exatamente um dos dois”, que corresponde ao evento
. Em palavras: o lar assina e não , ou assina e não .
Aqui
denota o complemento de
(os lares que não assinam
), e
o complemento de
.
Passo 3
Escrevendo a probabilidade que queremos em termos de probabilidades básicas:
Isso porque os dois eventos
e
são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), então a probabilidade da união é a soma das probabilidades.
Passo 4
Agora relacionamos
e
com probabilidades que temos:
- Qual é
? É a parte de que não está em . Assim
- Analogamente,
Somando:
Passo 5
Substituindo os números dados (vou trocar porcentagens por números entre
e
):
Então
Somando:
Passo 6
(Observação alternativa — fórmula direta) Outra forma curta é usar a identidade
que se obtém reagrupando termos da soma anterior. Substituindo os valores:
Ambas as vias dão o mesmo resultado.
Passo 7
Interpretação prática:
corresponde a
. Visualmente, se desenhar um diagrama de Venn, a região só do metropolitano tem
e a região só do local tem
; juntos dão
. Dica para a prova: desenhe rápido o Venn ou memorize a fórmula
para “exatamente um”.