Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem funçâo densidade rho.
D=(x, y) mid 1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a massa e o centro de massa de uma lâmina na região D=(x,y)mid1 com densidade rho(x,y)=k,y^2. Vamos usar integrais duplas para calcular a massa M=integral duplaD ho,dA e os momentos My=integral duplaD x,rho,dA e Mx=integral duplaD y,rho,dA.

Passo 2

Como D é um retângulo, a massa fica
M = integralx=1^3integraly=1^4k,y^2,dy,dx
A integral em y
integral1^4y^2,dy=y^33|1^4=64-13=21,
portanto
M = integral1^321k,dx=21k,(3-1)=42k

Passo 3

O momento em relação ao eixo y (para calcular bar x) é
My=integral1^3integral1^4x,(k,y^2),dy,dx
Como as variáveis separam,
My = kl(integral1^4y^2,dyr)l(integral1^3x,dxr)=kcdot21cdotx^22|1^3=kcdot21cdot4=84k

Passo 4

O momento em relação ao eixo x (para calcular bar y) é
Mx=integral1^3integral1^4y,(k,y^2),dy,dx=kintegral1^3l(integral1^4y^3,dyr)dx
A integral em y é
integral1^4y^3,dy=y^44|1^4=256-14=2554,
e integral1^3dx=2, logo
Mx= kcdot2cdot2554=2552k

Passo 5

As coordenadas do centro de massa vêm de
bar x=MyM=84k42k=2,
e
bar y=MxM=tfrac2552k42k=25584=8528

Resposta

M=42k, bar x=2, bar y=tfrac8528

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