Mostre que
[
& P(A cup B cup C)=P(A)+P(B)+P(C)- & -P(A cap B)-P(A cap C)-P(B cap C)+P(A cap B cap C)

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de inclusão–exclusão para três eventos, usando probabilidade de união e interseção de conjuntos.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer eventos X e Y, vale a identidade
P(Xcup Y)=P(X)+P(Y)-P(Xcap Y)

Passo 3

Aplicando essa fórmula aos eventos A e B, definimos U=A\cup B e obtemos
P(U)=P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)

Passo 4

Agora queremos P(A\cup B\cup C)=P(U\cup C). Usando novamente a fórmula de união:
P(Ucup C)=P(U)+P(C)-P(Ucap C)

Passo 5

Para achar P(U\cap C), notamos que
Ucap C=(Acup B)cap C=(Acap C)cup(Bcap C)
Aplicando a inclusão–exclusão para dois conjuntos em (A\cap C) e (B\cap C), temos
P(Ucap C)=P(Acap C)+P(Bcap C)-P(Acap Bcap C)

Passo 6

Substituindo P(U) e P(U\cap C) na expressão de P(U\cup C) e reorganizando os termos, chega-se a
P(Acup Bcup C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(Acap B)-P(Acap C)-P(Bcap C) +P(Acap Bcap C)

Resposta

P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P©-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)

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