Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes rosáceas: (calcule a área de uma pétala e multiplique pelo número de pétalas). Esboce as regiões.
r=2 \operatorname{sen}(2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área das regiões limitadas pela rosácea dada por r=2\operatorname{sen}(2\theta). Especificamente: calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas para obter a área total. Informações fornecidas:
  • A equação polar é r=2\operatorname{sen}(2\theta).
  • Espera-se também um esboço das regiões (ou pelo menos indicação de onde ficam as pétalas).
    O que precisamos extrair daqui:
  • Os intervalos de \theta que delimitam uma pétala (onde r\ge0 e entre zeros de r).
  • A fórmula apropriada para calcular a área em coordenadas polares.
  • O número de pétalas e a área de cada uma para obter a área total.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) a fórmula para área em coordenadas polares: se uma curva é dada por r=r(\theta) e a área é descrita por varrer \theta de \alpha a \beta, então a área do setor definido é
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^{2}\,d\theta.
Explicando por que isso é assim: um pequeno aumento \Delta\theta gera um setor aproximado de raio r e ângulo \Delta\theta; a área desse setor é \frac{1}{2}r^{2}\Delta\theta. Integrando esses setores infinitesimais sobre \theta obtemos a integral acima. Aqui r(\theta) é a distância da origem ao ponto na direção \theta.
Aplicaremos essa fórmula com r(\theta)=2\operatorname{sen}(2\theta).

Passo 3

Precisamos identificar o intervalo de \theta que descreve UMA pétala. Para isso encontramos os zeros de r:
r=2\operatorname{sen}(2\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(2\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\theta=k\pi,
ou seja
\theta=\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esses zeros ocorrem em \theta=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\dots. Entre dois zeros consecutivos r pode ser positivo ou negativo. Uma pétala corresponde a um intervalo onde r\ge0 e volta a zero nas extremidades. Observe que \operatorname{sen}(2\theta)>0 quando 2\theta\in(0,\pi), isto é \theta\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big). Portanto um intervalo que descreve uma pétala é
\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
(Escolhi esse intervalo por ser o primeiro intervalo onde r é não negativo. Há outros intervalos semelhantes deslocados em \frac{\pi}{2}.)
Também é útil identificar o ponto médio angular da pétala e o raio máximo: \operatorname{sen}(2\theta) atinge 1 quando 2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi, logo \theta=\frac{\pi}{4}+k\pi. No primeiro intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] o máximo ocorre em \theta=\tfrac{\pi}{4} com
r_{\max}=2\operatorname{sen}\big(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)=2\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=2.

Passo 4

Agora calculamos a área de UMA pétala usando a fórmula. Substituindo r(\theta)=2\operatorname{sen}(2\theta) e os limites \alpha=0, \beta=\tfrac{\pi}{2}:
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big(2\operatorname{sen}(2\theta)\big)^{2}\,d\theta.é
Simplificando a expressão dentro da integral:
\big(2\operatorname{sen}(2\theta)\big)^{2}=4\operatorname{sen}^{2}(2\theta).
Então
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\operatorname{sen}^{2}(2\theta)\,d\theta =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{2}(2\theta)\,d\theta.é
Para integrar usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Aqui u=2\theta, então
\operatorname{sen}^{2}(2\theta)=\frac{1-\cos(4\theta)}{2}.
Substituindo:
A_{\text{pétala}}=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\,d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \big(1-\cos(4\theta)\big)\,d\theta.é
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\,d\theta = \left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2},
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(4\theta)\,d\theta = \left[\frac{1}{4}\operatorname{sen}(4\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{4}\big(\operatorname{sen}(2\pi)-\operatorname{sen}(0)\big)=0.
Portanto
A_{\text{pétala}}=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.é

Passo 5

Agora determinamos o número de pétalas. A regra prática para rosas r=a\operatorname{sen}(n\theta) é:
  • se n é par, há 2n pétalas;
  • se n é ímpar, há n pétalas.
    Aqui n=2 (porque r=2\operatorname{sen}(2\theta)), então o número de pétalas é 2\cdot 2=4.
    Outra maneira de ver: os zeros em \theta=k\pi/2 subdividem o intervalo [0,2\pi) em quatro intervalos onde r é alternadamente positivo e negativo; os intervalos com r\ge0 correspondem a quatro pétalas.
Então a área total das quatro pétalas vale
A_{\text{total}}=4\cdot A_{\text{pétala}}=4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi.é

Passo 6

Como esboçar rapidamente a rosácea (instruções práticas para a prova):
  • As pétalas estão centradas nos ângulos \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}.
  • Cada pétala atinge raio máximo r_{\max}=2 no ângulo central respectivo.
  • As pétalas têm simetria de 90 graus entre si (rotacional de ordem 4).
  • Trace os eixos polares, marque os ângulos acima e desenhe quatro pétalas com ponta em r=2 nesses ângulos, voltando para a origem nos ângulos \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}.
Vai ficar uma cruz de pétalas, cada uma com comprimento máximo 2 e simétricas.

Resposta

Área de uma pétala: \dfrac{\pi}{2}
Área total (todas as pétalas): 2\pi

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