Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes rosáceas: (calcule a área de uma pétala e multiplique pelo número de pétalas). Esboce as regiões.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área das regiões limitadas pela rosácea dada por
. Especificamente: calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas para obter a área total. Informações fornecidas:
- A equação polar é
. - Espera-se também um esboço das regiões (ou pelo menos indicação de onde ficam as pétalas).
O que precisamos extrair daqui: - Os intervalos de
que delimitam uma pétala (onde e entre zeros de ). - A fórmula apropriada para calcular a área em coordenadas polares.
- O número de pétalas e a área de cada uma para obter a área total.
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) a fórmula para área em coordenadas polares: se uma curva é dada por
e a área é descrita por varrer
de
a
, então a área do setor definido é
Explicando por que isso é assim: um pequeno aumento
gera um setor aproximado de raio
e ângulo
; a área desse setor é
. Integrando esses setores infinitesimais sobre
obtemos a integral acima. Aqui
é a distância da origem ao ponto na direção
.
Aplicaremos essa fórmula com
.
Passo 3
Precisamos identificar o intervalo de
que descreve UMA pétala. Para isso encontramos os zeros de
:
ou seja
Esses zeros ocorrem em
. Entre dois zeros consecutivos
pode ser positivo ou negativo. Uma pétala corresponde a um intervalo onde
e volta a zero nas extremidades. Observe que
quando
, isto é
. Portanto um intervalo que descreve uma pétala é
(Escolhi esse intervalo por ser o primeiro intervalo onde
é não negativo. Há outros intervalos semelhantes deslocados em
.)
Também é útil identificar o ponto médio angular da pétala e o raio máximo:
atinge
quando
, logo
. No primeiro intervalo
o máximo ocorre em
com
Passo 4
Agora calculamos a área de UMA pétala usando a fórmula. Substituindo
e os limites
,
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então
Para integrar usamos a identidade trigonométrica
Aqui
, então
Substituindo:
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Passo 5
Agora determinamos o número de pétalas. A regra prática para rosas
é:
- se
é par, há pétalas; - se
é ímpar, há pétalas.
Aqui(porque ), então o número de pétalas é .
Outra maneira de ver: os zeros emsubdividem o intervalo em quatro intervalos onde é alternadamente positivo e negativo; os intervalos com correspondem a quatro pétalas.
Então a área total das quatro pétalas vale
Passo 6
Como esboçar rapidamente a rosácea (instruções práticas para a prova):
- As pétalas estão centradas nos ângulos
. - Cada pétala atinge raio máximo
no ângulo central respectivo. - As pétalas têm simetria de 90 graus entre si (rotacional de ordem 4).
- Trace os eixos polares, marque os ângulos acima e desenhe quatro pétalas com ponta em
nesses ângulos, voltando para a origem nos ângulos .
Vai ficar uma cruz de pétalas, cada uma com comprimento máximo 2 e simétricas.
Resposta
Área de uma pétala:
Área total (todas as pétalas):
Área total (todas as pétalas):