Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho.
D é a região triangular limitada pelas retas y=0, y=2 x e x+2 y=1 ; rho(x, y)=x

Passo 1

O enunciado pede a massa
M=integral duplaDrho(x,y),dA
e o centro de massa
bar x=1Mintegral duplaDx,rho(x,y),dA, bar y=1Mintegral duplaDy,rho(x,y),dA,
para a lâmina de densidade rho(x,y)=x sobre a região triangular D limitada por
,y=0, ,y=2x e ,x+2y=1.

Passo 2

Para simplificar, vamos descrever D como região ``y-simp<=s'':
  • y varia de 0 até o ponto mais alto da interseção de y=2x com x+2y=1. Resolvendo y=2x, x+2y=1 ;Longrightarrow;5x=1,;x=tfrac15,;y=tfrac25, obtemos 0<= y<= tfrac25.
  • Para cada y fixo, x varia da reta y=2x (isto é, x=tfracy2) até a reta x+2y=1 (isto é, x=1-2y).
    Logo
D=l(x,y)mid 0<= y<=tfrac25,;tfracy2<= x<= 1-2yr

Passo 3

Cálculo da massa M:
M=integraly=0^2/5!integralx=y/2^,1-2yx,dx,dy
O integral interno é
integraly/2^1-2yx,dx =l[tfrac12x^2r]x=y/2^,1-2y =tfrac12!l[(1-2y)^2-(y/2)^2r] =tfrac12-2y+tfrac158y^2
Logo
M=integral0^2/5l(tfrac12-2y+tfrac158y^2r)dy =l[tfrac12y-y^2+tfrac58y^3r]0^2/5 =225

Passo 4

Cálculo de integral duplaDx^2,dA para bar x:
integral duplaDx^2,dA =integral0^2/5!integraly/2^,1-2yx^2,dx,dy =integral0^2/5ltfrac13l[(1-2y)^3-(y/2)^3r]rdy =31750
Assim
bar x =1Mintegral duplaDx^2,dA =tfrac31750tfrac225 =3160

Passo 5

Cálculo de integral duplaDxy,dA para bar y:
integral duplaDxy,dA =integral0^2/5!integraly/2^,1-2yx,y,dx,dy =integral0^2/5l(yl[tfrac12-2y+tfrac158y^2r]r)dy =7750
Logo
bar y =1Mintegral duplaDxy,dA =tfrac7750tfrac225 =760

Resposta

Massa: M = tfrac225
Centro de massa:
l(bar x,bar yr)=l(tfrac3160,,tfrac760r)

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