Determine os yalores de a para que a função f(x, y)=ll3 x^2+5y^2+1 & se (x, y) neq(0,0) 3 a^2+a y & se (x, y)=(0,0), seja continua na origem.

Passo 1

Resumo da questão: a gente tem uma função de duas variáveis
f(x,y)= dfrac3x^2+5y^2+1,&se (x,y)neq(0,0), 3a^2+a,y,&se (x,y)=(0,0),
e quer saber para quais valores de a ela é contínua na origem.
Conteúdo: limites e continuidade de funções de duas variáveis.
O que precisamos fazer:
  1. Calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) pela parte de fora.
  2. Igualar esse limite ao valor que a função toma em (0,0) e resolver para a.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é limite em duas variáveis:
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe se, independentemente do caminho pelo qual (x,y) se aproxime de (0,0), f(x,y) tende ao mesmo número.
Aqui, fora da origem temos uma fração de polinômios cujo denominador nunca é zero ( y^2+1>=1). Funções polinomiais são contínuas e, quando o denominador não zera, a divisão é contínua também. Então dá pra usar substituição direta:
lim(x,y)to(0,0)3x^2+5y^2+1 =3cdot0^2+50^2+1 =51 =5

Passo 3

Agora a definição de continuidade no ponto (0,0):
a função é contínua em (0,0) Long<=ftrightarrow lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0) çãéí
Já vimos que o limite vale 5. Por definição, em (0,0) a função toma o valor
f(0,0)=3a^2 + a,y
Mas na origem temos y=0, logo
f(0,0)=3a^2 + acdot0 =3a^2
Para ter continuidade, igualamos
3a^2 = 5 Longrightarrow a^2 = 53 Longrightarrow a = pm raiz53

Resposta

a = pm raiztfrac53.

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