Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
14 x y^prime+(1+x) y=e^-x sen 2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y' + (1+x),y = e^-xsin(2x)
que é uma equação linear no formato
y' + p(x),y = q(x)
Aqui vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo tudo por x (supondo xneq0), colocamos em forma padrão:
y' + l(1 + 1xr)y = e^-xsin(2x)x
Portanto
p(x) = 1 + 1x, q(x) = e^-xsin(2x)x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integrall(1+1xr)dxr) = exp(x + ln|x|) = x,e^x

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
ddxl(xe^xyr) = xe^x,e^-xsin(2x)x = sin(2x)
Integrando ambos os lados em relação a x:
xe^xy = integral sin(2x),dx = -tfrac12cos(2x) + C

Passo 5

Isolando y, vem
y(x) = -tfrac12cos(2x) + Cx,e^x = -cos(2x)2x,e^x + Cx,e^x,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxedy(x) = -cos(2x)2,x,e^x + Cx,e^x, CinR

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