Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho.
D é limitada pelas curvas y=e^-x, y=0, x=0, x=1; rho(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede a massa m e o centro de massa (bar x,bar y) de uma lâmina que ocupa
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<= e^-x
e tem densidade rho(x,y)=x,y. Vamos usar as fórmulas
m=integral duplaDrho(x,y),dA, My=integral duplaDx,rho(x,y),dA, Mx=integral duplaDy,rho(x,y),dA,
bar x=Mym, bar y=Mxm

Passo 2

Primeiro calculamos a massa:
m=integral0^1!!integral0^e^-xx,y,dy,dx =integral0^1xgl[y^22gr]0^e^-xdx =12integral0^1x,e^-2xdx
Para integral0^1x,e^-2xdx usamos integração por partes:
integral x,e^-2xdx =-x2e^-2x-14e^-2x+C
Logo
integral0^1x,e^-2xdx =l[-tfracx2e^-2x-tfrac14e^-2xr]0^1 =14-34e^-2
Assim
m=12l(14-34e^-2r) =1-3e^-28

Passo 3

Agora o momento My:
My=integral duplaDx^2y,dA =integral0^1!!integral0^e^-xx^2y,dy,dx =12integral0^1x^2e^-2xdx
Para integral x^2e^-2xdx aplicamos duas vezes partes e obtemos
integral0^1x^2e^-2xdx =l[-tfracx^22e^-2x-tfracx2e^-2x-tfrac14e^-2xr]0^1 =14-54e^-2
Logo
My=12l(14-54e^-2r) =1-5e^-28,
e
bar x=Mym =1-5e^-281-3e^-28 =1-5e^-21-3e^-2

Passo 4

Finalmente o momento Mx:
Mx=integral duplaDx,y^2,dA =integral0^1!!integral0^e^-xx,y^2dy,dx =13integral0^1x,e^-3xdx
Calculando integral0^1x,e^-3xdx por partes:
integral x,e^-3xdx =-x3e^-3x-19e^-3x+C ;Longrightarrow; integral0^1x,e^-3xdx =19-49e^-3
Então
Mx=13l(19-49e^-3r) =1-4e^-327,
e
bar y=Mxm =1-4e^-3271-3e^-28 =8l(1-4e^-3r)27l(1-3e^-2r)

Resposta

m=dfrac1-3e^-28,
bar x=1-5e^-21-3e^-2,
bar y=8l(1-4e^-3r)27l(1-3e^-2r).

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