Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
18 cos ^2 x sen x d yd x+(cos ^3 x) y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
cos^2x,sin x ,dydx + cos^3x,y = 1
e pede a solução geral. O conteúdo é a resolução de equação linear de primeira ordem, usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo tudo por cos^2x,sin x, obtemos
dydx + underbracecos^3xcos^2x,sin x=cot x,y = underbrace1cos^2x,sin x=sec^2x,csc x

Passo 3

Identificamos P(x)=cot x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx =e^integral cot x,dx =e^ln|sin x| =sin x

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x)=sin x, passando a ter
sin xdydx + y,sin xcot x =sin xcdotsec^2x,csc x Longrightarrow ddxl(y,sin xr) =sec^2x

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
y,sin x = integral sec^2x,dx = tan x + C

Passo 6

Isolamos y:
y(x) = tan x + Csin x = sin xcos x,1sin x + C,1sin x = sec x + C,csc x

Resposta

y(x) = sec x + C,csc x

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