Determine a massa, o centro de massa e os momentos de inércia Ix, Iy da lâmina de densidade sigma(x, y) e formato D :
D: y=raiz[3]x, x=8, y=0 ; sigma=y^2

Passo 1

Temos uma lâmina D limitada por
y = raiz[3]x(iff x=y^3), x=8, y=0,
com densidade sigma(x,y)=y^2.
Queremos calcular
  • a massa
    m=integral duplaDsigma,dA,
  • o centro de massa
    bar x=tfrac1mintegral duplaDx,sigma,dA,
    bar y=tfrac1mintegral duplaDy,sigma,dA,
  • os momentos de inércia
    Ix=integral duplaDy^2,sigma,dA,
    Iy=integral duplaDx^2,sigma,dA.
    Para montar as integrais, note que y varia de 0 a 2 (pois em x=8 temos y=raiz[3]8=2) e, para cada y, x vai de y^3 até 8.

Passo 2

Massa:
m=integraly=0^2!integralx=y^3^8y^2,dx,dy =integral0^2y^2l(8-y^3r),dy =8integral0^2y^2,dy-integral0^2y^5,dy =643-646 =323

Passo 3

Centro de massa. Primeiro bar x:
mbar x =integral0^2!integraly^3^8x,y^2,dx,dy =integral0^2l(32y^2-tfracy^82r),dy =5129,
bar x=mbar xm =512/932/3 =163
Agora bar y:
mbar y =integral0^2!integraly^3^8y^3,dx,dy =integral0^2y^3l(8-y^3r),dy =32-1287 =967,
bar y=mbar ym =96/732/3 =97

Passo 4

Momento de inércia em relação ao eixo x:
Ix =integral duplaDy^2,sigma,dA =integral duplaDy^4,dA =integral0^2!integraly^3^8y^4,dx,dy =integral0^2y^4l(8-y^3r),dy =965

Passo 5

Momento de inércia em relação ao eixo y:
Iy =integral duplaDx^2,sigma,dA =integral0^2!integraly^3^8x^2,y^2,dx,dy =13integral0^2l(512y^2 - y^11r),dy =10243

Resposta

m = 323,
(barx,bary)=(163,97),
Ix=965,
Iy=10243

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