Resolva as EDOs via método de séries de potências:
(1-x) y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(1 - x),y' - y = 0
usando séries de potências. O conteúdo envolvido é o método de série de potências para EDOs: supomos uma solução
y=sumn=0^inftyan x^n
e encontramos uma recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Assumimos
y=sumn=0^inftyan x^n
Então
y'=sumn=1^inftyn,an x^n-1 =sumn=0^infty(n+1),an+1x^n

Passo 3

Substituindo em (1-x)y'-y=0 obtemos
(1-x)y' - y = y' - x,y' - y =sumn=0^infty(n+1)an+1x^n ;-;sumn=0^inftyn,an x^n ;-;sumn=0^inftyan x^n

Passo 4

Reunindo termos semelhantes em x^n, temos
sumn=0^inftyl((n+1)an+1-n,an - anr)x^n =sumn=0^infty(n+1)l(an+1-anr)x^n =0
Para cada n vale
(n+1)l(an+1-anr)=0 Longrightarrow an+1=an

Passo 5

Da recorrência an+1=an segue que todos os coeficientes são iguais a a0. Logo
y=sumn=0^inftya0,x^n =a0sumn=0^inftyx^n,
que é a série geométrica convergente para |x|<1.

Resposta

y=C1-x,
onde C=a0 é a constante de integração.

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