Determine a massa do cilindro 0 <= r <= a, 0 <= z <= h, sabendo-se que sua densidade em (x, y, z) é a distância de tal ponto ao plano x y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a massa de um cilindro de raio a e altura h cuja densidade em cada ponto é a distância ao plano xy, ou seja, rho(x,y,z)=z. Vamos usar integral tripla em coordenadas cilíndricas para resolver.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz. Os limites são 0<= r<= a, 0<=theta<=2pi, 0<= z<= h e rho(r,theta,z)=z.

Passo 3

A massa é dada por m=integral triplaVrho,dV. Montando a integral:
m=integralz=0^hintegraltheta=0^2piintegralr=0^azcdot r,dr,dtheta,dz

Passo 4

Primeiro calculamos a integral em r e depois em theta:
integralr=0^ar,dr=a^22, integraltheta=0^2pidtheta=2pi
Assim obtemos
m=2picdota^22integral0^hz,dz=pi a^2integral0^hz,dz

Passo 5

Agora integramos em z:
integral0^hz,dz=h^22
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m=pi a^2h^22=pi a^2h^22

Resposta

m=pi a^2h^22

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