Seja a função
com domínio no conjunto dos números reais. Classifique como
ou
:
Se a
e
, então
.
Se a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = a^{x} $ definida para todos os números reais. A questão pede para a gente classificar como Verdadeiro (V) ou Falso (F) a afirmação: “Se $ a > 1 $ e $ x_{1} < x_{2} $, então $ f(x_{1}) < f(x_{2}) $”. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e crescimento para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ a > 1 $ na função exponencial $ f(x) = a^{x} $. Quando a base $ a $ é maior que 1, a função é crescente. Isso quer dizer que, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta. Por exemplo, se $ a = 2 $, então $ f(1) = 2 $, $ f(2) = 4 $, $ f(3) = 8 $, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos considerar os valores $ x_{1} $ e $ x_{2} $ com $ x_{1} < x_{2} $. Como a função é crescente (porque $ a > 1 $), isso significa que quanto maior o valor de $ x $, maior será o valor de $ f(x) $. Logo, se $ x_{1} $ é menor que $ x_{2} $, então $ f(x_{1}) $ deve ser menor que $ f(x_{2}) $.
Passo 4
Vamos colocar isso em termos de inequação para deixar bem claro:
Isso acontece porque, para $ a > 1 $, a função $ f(x) = a^{x} $ nunca diminui; ela sempre sobe conforme $ x $ aumenta.
Resposta
Verdadeiro (V).