Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
ut=1100 ux x u(x, 0)= 100 & se |x| <= 1, 0 & se |x|>1

Passo 1

Estamos diante da equação do calor unidimensional
com condicional inicial em forma de “pulso retangular”:
  • Equação: u_t = \frac{1}{100} u_{xx}
  • Condição inicial: u(x,0)=100 se |x|≤1 e u(x,0)=0 se |x|>1
    Precisamos usar a teoria da solução fundamental (kernel de calor) e convolução para obter u(x,t).

Passo 2

Para equações lineares do tipo u_t=κu_{xx} com κ=1/100 no domínio inteiro, a solução geral é a convolução da condição inicial f(x) com o núcleo fundamental do calor
G(x,t)=1raiz4pi,κ,texp!l(-tfracx^24κtr)

Passo 3

Escrevendo explicitamente a convolução com f(x)=100·χ_{[-1,1]}(x), temos
u(x,t)= integral-infty^inftyG(x-y,t),f(y),dy =1raiz4pi (t/100)integral-1^1100exp!l(-tfrac(x-y)^24(t/100)r),dy

Passo 4

Para calcular a integral, fazemos a mudança de variável
s=y-x2raizt/100, dy=2raizt/100,ds
Isso transforma a integral gaussiana numa combinação de funções de erro . Após integrar, obtemos
$$
\int_{-1}{1}\exp!\Bigl(-\tfrac{(x-y)2}{4(t/100)}\Bigr),dy
=\sqrt{\pi,\tfrac{t}{100}}\Bigl[\erf\bigl(\tfrac{1-x}{2\sqrt{t/100}}\bigr)+\erf\bigl(\tfrac{1+x}{2\sqrt{t/100}}\bigr)\Bigr].
$$

Passo 5

Voltando à expressão de u(x,t) e simplificando os fatores (pois
100/raiz4pi(t/100)timesraizpi(t/100)=50), chegamos à forma final em termos de :

Resposta

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