As raízes de equação 2^x+12^x=174 são:
a) iguais em módulo.
b) ambas negativas.
c) ambas positivas.
d) quaisquer números reais.
e) nulas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a equação 2^x + 12^x = 174 e pede para determinar a relação entre as raízes dessa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de exponenciais e equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais manejável. Vamos chamar $ t = 2^{x} $. Com isso, $ \frac{1}{2^{x}} $ se torna $ \frac{1}{t} $.

Passo 3

Substituindo na equação original, temos:
t + 1t = 174
Agora, para eliminar a fração, multiplicamos ambos os lados por $ t $:
t

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma de uma equação quadrática padrão:
t^2 - 174 t + 1 = 0
Para facilitar os cálculos, multiplicamos todos os termos por 4:
4t^2 - 17t + 4 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática 4t^2 - 17t + 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
t = 17 pm raiz17^2 - 4 cdot 4 cdot 42 cdot 4
Calculando o discriminante:
raiz289 - 64 = raiz225 = 15
Então, as soluções são:
t = 17 + 158 = 328 = 4
e
t = 17 - 158 = 28 = 14

Passo 6

Lembrando que $ t = 2^{x} $, temos duas equações:
  1. $ 2^{x} = 4 $ t = 2^x $ x = 2 $ (pois 2^x = 4 )
  2. $ 2^{x} = \frac{1}{4} $ Rightarrow $ x = -2 $ (pois x = 2 )

Passo 7

Assim, as raízes da equação são $ x = 2 $ e $ x = -2 $. Observando essas soluções, vemos que uma é positiva e a outra é negativa, mas ambas têm o mesmo valor absoluto.

Resposta

a) iguais em módulo.

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