Determine a massa de um fio com densidade
\delta(x, y, z)=x z
e formato de curva dada pela intersecção das superfícies x^{2}+z^{2}=4 e y=1-\frac{x}{2}, com x \geq 0 e z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de um fio cuja densidade linear é \delta(x,y,z)=x\,z e que tem a forma da curva de interseção das superfícies
x^{2}+z^{2}=4
e
y=1-\frac{x}{2},
com as restrições x\ge0 e z\ge0.
Conteúdo: integração de linha em \mathbb{R}^3. Vamos parametrizar a curva, calcular ds e depois avaliar
m=\int_C \delta(x,y,z)\,ds.

Passo 2

Parametrizamos o quarto de círculo em x\!z-plano por
x=2\cos t,\quad z=2\sin t,
com t\in[0,\tfrac\pi2]. Como y=1-\tfrac x2, temos
y=1-\cos t.
Logo
\mathbf r(t)=\bigl(2\cos t,\;1-\cos t,\;2\sin t\bigr),\quad 0\le t\le\tfrac\pi2.

Passo 3

Calculamos a densidade ao longo da curva:
\delta\bigl(\mathbf r(t)\bigr) = x\,z = (2\cos t)\,(2\sin t) =4\cos t\sin t.
Em seguida,
\mathbf r'(t)=\bigl(-2\sin t,\;\sin t,\;2\cos t\bigr),
então
\|\mathbf r'(t)\| =\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}} =\sqrt{4\sin^{2}t+\sin^{2}t+4\cos^{2}t} =\sqrt{4+\sin^{2}t}.

Passo 4

A massa é
m=\int_{C}\delta\,ds =\int_{0}^{\frac\pi2}4\cos t\sin t\;\sqrt{4+\sin^{2}t}\;dt.
Fazemos a substituição u=\sin t, du=\cos t\,dt. Quando t=0\to u=0, e t=\tfrac\pi2\to u=1. O integrando fica
4\cos t\sin t\sqrt{4+\sin^{2}t}\,dt =4\,u\sqrt{4+u^{2}}\,du.

Passo 5

Integramos em u:
m =\int_{0}^{1}4\,u\sqrt{4+u^{2}}\,du.
Deixe w=4+u^{2}, então dw=2u\,du e u\,du=\tfrac{dw}{2}. Assim
m =4\int_{w(0)=4}^{w(1)=5}\sqrt{w}\,\frac{dw}{2} =2\int_{4}^{5}w^{\tfrac12}dw =2\cdot\frac{2}{3}\Bigl[w^{\tfrac32}\Bigr]_{4}^{5} =\frac{4}{3}\bigl(5^{\tfrac32}-4^{\tfrac32}\bigr).

Resposta

m=\frac{4}{3}\bigl(5\sqrt{5}-8\bigr).

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