Se tanto f(x) quanto g(x) satisfazem as hipóteses do Proposição 26 apresentado em aula, a série de Fourier de f(x)+g(x) em ( -L, L ) é a soma das séries de Fourier de f(x) e g(x) no intervalo? Além disso, a série converge para f(x)+g(x) no intervalo? Justifique.

Passo 1

Estamos em (-L,L) com duas funções f e g que satisfazem as hipóteses da Proposição 26 (condições de Dirichlet: peça-wise contínuas e de variação limitada). A Proposição 26 garante que a série de Fourier de qualquer função h nessas hipóteses converge em cada ponto x para
\frac{h(x^+)+h(x^-)}{2}.
A pergunta é se a série de Fourier de f+g é a soma das séries de f e de g, e se essa série converge para f(x)+g(x).

Passo 2

Vamos mostrar que os coeficientes de Fourier são lineares. Para n\ge1 definimos
a_n(h)=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}h(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx, \quad b_n(h)=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}h(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx,
e
a_0(h)=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}h(x)\,dx.
Pela linearidade da integral,
a_n(f+g) =\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =a_n(f)+a_n(g),
e de modo análogo
b_n(f+g)=b_n(f)+b_n(g), \quad a_0(f+g)=a_0(f)+a_0(g).

Passo 3

Como a série de Fourier de uma função h é
\frac{a_0(h)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n(h)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) +b_n(h)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\Bigr],
substituindo h=f+g e usando a linearidade dos coeficientes vemos que a série de Fourier de f+g é exatamente a soma termo a termo das séries de Fourier de f e de g.

Passo 4

Pela Proposição 26, a série de Fourier de f+g converge em cada ponto x para
\frac{(f+g)(x^+)+(f+g)(x^-)}{2} =\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}+\frac{g(x^+)+g(x^-)}{2}.
Isto é, ela converge para o valor médio dos limites laterais de f+g. Em particular, nos pontos onde f e g são contínuas, isto coincide com
(f+g)(x).

Resposta

Sim. A série de Fourier de f+g é a soma termo a termo das séries de f e de g, pois os coeficientes são lineares. Além disso, por aplicação da Proposição 26 a f+g, essa série converge em cada ponto x para \tfrac{(f+g)(x^+)+(f+g)(x^-)}{2}, que é igual a f(x)+g(x) sempre que f e g são contínuas em x.

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