Se tanto
quanto
satisfazem as hipóteses do Proposição 26 apresentado em aula, a série de Fourier de
em (
) é a soma das séries de Fourier de
e
no intervalo? Além disso, a série converge para
no intervalo? Justifique.
Passo 1
Estamos em
com duas funções
e
que satisfazem as hipóteses da Proposição 26 (condições de Dirichlet: peça-wise contínuas e de variação limitada). A Proposição 26 garante que a série de Fourier de qualquer função
nessas hipóteses converge em cada ponto
para
A pergunta é se a série de Fourier de
é a soma das séries de
e de
, e se essa série converge para
.
Passo 2
Vamos mostrar que os coeficientes de Fourier são lineares. Para
definimos
e
Pela linearidade da integral,
e de modo análogo
Passo 3
Como a série de Fourier de uma função
é
substituindo
e usando a linearidade dos coeficientes vemos que a série de Fourier de
é exatamente a soma termo a termo das séries de Fourier de
e de
.
Passo 4
Pela Proposição 26, a série de Fourier de
converge em cada ponto
para
Isto é, ela converge para o valor médio dos limites laterais de
. Em particular, nos pontos onde
e
são contínuas, isto coincide com
Resposta
Sim. A série de Fourier de
é a soma termo a termo das séries de
e de
, pois os coeficientes são lineares. Além disso, por aplicação da Proposição 26 a
, essa série converge em cada ponto
para
, que é igual a
sempre que
e
são contínuas em
.