Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} sendo dados \gamma(t)=\left(1-t^{5}, 2 t^{3}, 2 t\right), \quad t \in[0,1] \mathrm{e}
\vec{F}=\left(x+z e^{x z} \sqrt{y^{2}+1}, 2 y+\frac{y e^{x z}}{\sqrt{y^{2}+1}}, z+x e^{x z} \sqrt{y^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde
\gamma(t)=(1-t^{5},2t^{3},2t), t\in[0,1],
e
\vec F(x,y,z)=\bigl(x+z\,e^{xz}\sqrt{y^{2}+1},\;2y+\tfrac{y\,e^{xz}}{\sqrt{y^{2}+1}},\;z+x\,e^{xz}\sqrt{y^{2}+1}\bigr).
Como \vec F aparenta ser um campo conservativo, vamos buscar uma função potencial f tal que \nabla f=\vec F. Se encontrarmos f, então
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr).

Passo 2

Proponha
f(x,y,z)=\frac{x^{2}}{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{2}+e^{xz}\sqrt{y^{2}+1}.
Calculando gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x} =x+z\,e^{xz}\sqrt{y^{2}+1},\quad \frac{\partial f}{\partial y} =2y+e^{xz}\,\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}},\quad \frac{\partial f}{\partial z} =z+x\,e^{xz}\sqrt{y^{2}+1},
que coincide com os componentes de \vec F. Logo, \vec F é conservativo e f é potencial.

Passo 3

Calcule f nos pontos inicial e final de \gamma:
\gamma(0)=(1,0,0) e \gamma(1)=(0,2,2).
f\bigl(1,0,0\bigr) =\tfrac{1^{2}}{2}+0^{2}+\tfrac{0^{2}}{2}+e^{1\cdot0}\sqrt{0^{2}+1} =\tfrac12+1=\tfrac{3}{2},
f\bigl(0,2,2\bigr) =\tfrac{0^{2}}{2}+2^{2}+\tfrac{2^{2}}{2}+e^{0\cdot2}\sqrt{2^{2}+1} =4+2+1\cdot\sqrt{5}=6+\sqrt{5}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental para campos conservativos:
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr) =(6+\sqrt{5})-\tfrac{3}{2} =\tfrac{9}{2}+\sqrt{5}.

Resposta

\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\frac{9}{2}+\sqrt{5}.

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