O que é a extensão periódica de uma função f definida para x \in(-L, L) ?

Passo 1

O enunciado pergunta o que entendemos por “extensão periódica” de uma função f originalmente definida no intervalo (-L,L). O conteúdo envolvido é a noção de funções periódicas e como usar f para construir uma nova função em todo \mathbb{R} que repete o comportamento de f a cada intervalo de comprimento 2L.

Passo 2

Lembrete: uma função F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é chamada periódica de período T>0 se, para todo x\in\mathbb{R}, vale
F(x+T)=F(x).
Na prática, isso significa que o gráfico de F se repete a cada deslocamento de comprimento T.

Passo 3

Para construir a extensão periódica de f com período 2L, procedemos assim: dado qualquer x\in\mathbb{R}, escolhemos um inteiro k tal que
x - 2L\,k \in (-L,L).
Em seguida, definimos
F(x) = f\bigl(x - 2L\,k\bigr).
Essa definição faz com que, sempre que aumentarmos x em 2L, o índice k também aumente em 1 e x-2L\,k volte ao mesmo valor em (-L,L). Logo F(x+2L)=F(x).

Passo 4

Em outras palavras, a extensão periódica de f é a função F em \mathbb{R} que “corta” o eixo real em pedaços de comprimento 2L e, em cada pedaço, “cola” uma cópia de f. Se f for contínua em [-L,L] e ainda satisfizer f(-L)=f(L), então F ficará contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A extensão periódica de f de período 2L é a função F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
F(x)=f\bigl(x - 2L\,k\bigr) \quad\text{quando}\quad x-2L\,k\in(-L,L),
de modo que F(x+2L)=F(x) para todo x e F(x)=f(x) sempre que x\in(-L,L).

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