O que é a extensão periódica de uma função
definida para
?
Passo 1
O enunciado pergunta o que entendemos por “extensão periódica” de uma função
originalmente definida no intervalo
. O conteúdo envolvido é a noção de funções periódicas e como usar
para construir uma nova função em todo
que repete o comportamento de
a cada intervalo de comprimento
.
Passo 2
Lembrete: uma função
é chamada periódica de período
se, para todo
, vale
Na prática, isso significa que o gráfico de
se repete a cada deslocamento de comprimento
.
Passo 3
Para construir a extensão periódica de
com período
, procedemos assim: dado qualquer
, escolhemos um inteiro
tal que
Em seguida, definimos
Essa definição faz com que, sempre que aumentarmos
em
, o índice
também aumente em 1 e
volte ao mesmo valor em
. Logo
.
Passo 4
Em outras palavras, a extensão periódica de
é a função
em
que “corta” o eixo real em pedaços de comprimento
e, em cada pedaço, “cola” uma cópia de
. Se
for contínua em
e ainda satisfizer
, então
ficará contínua em todo
.
Resposta
A extensão periódica de
de período
é a função
definida por
de modo que
para todo
e
sempre que
.