1. Encontre o plano tangente de f(x, y)=x^2+y^2x no ponto (x, y)=(2,2)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida por
f(x,y)=x^2+y^2x
no ponto (2,2). Vamos usar que, para uma função fcolonR^2toR diferenciável, o plano tangente em (x0,y0) é dado por
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calcular o valor da função em (2,2):
f(2,2)=2^2+2^22=4+42=4

Passo 3

Encontrar as derivadas parciais de f. Escrevendo primeiro
f(x,y)=x + y^2x,
temos
fx = partialpartial xl(x + y^2 x^-1r) = 1 - y^2 x^-2,
fy = partialpartial yl(x + y^2 x^-1r) = 2y,x^-1

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais em (2,2):
fx(2,2)=1 - 2^22^2=1 - 1=0,
fy(2,2)=2cdot 22=2

Passo 5

Substituir na fórmula do plano tangente:
z = 4 + 0,(x - 2) + 2,(y - 2)
que simplifica para
z = 4 + 2y - 4 = 2y

Resposta

O plano tangente é
z = 2y

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