3 Determine a massa do sólido W, no primeiro octante, limitado por y=x^2, y=9, z=0, x=0 e y+z=9 se a densidade é dada por f(x, y, z)=x+y.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido W no primeiro octante, limitado por
  • x=0,
  • y=x^2,
  • y=9,
  • z=0,
  • y+z=9,
    com densidade ,f(x,y,z)=x+y.
    Conteúdo: usar integral tripla para massa
m=integral triplaW (x+y),dV

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio em coordenadas cartesianas. Como y vai de x^2 até 9 e estamos no primeiro octante, vale também x>=0. Invertendo a ordem para simplificar, tomamos
0<= y<=9, 0<= x<=raizy, 0<= z<=9-y
Assim
m=integraly=0^9integralx=0^raizyintegralz=0^9-y(x+y),dz,dx,dy

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em z:
integralz=0^9-y(x+y),dz=(x+y)l[zr]0^9-y=(x+y)(9-y)
Logo
m=integral0^9integral0^raizy(x+y)(9-y),dx,dy

Passo 4

Expandimos e integramos em x:
(x+y)(9-y)=(9-y)x+(9-y)y,
então
integral0^raizyl[(9-y)x+(9-y)yr]dx =(9-y)x^22|0^raizy+(9-y)y,x|0^raizy =(9-y)y2+(9-y)yraizy
Logo
m=integral0^9l((9-y)tfracy2+(9-y)y^3/2r)dy

Passo 5

Separamos em duas integrais:
integral0^9(9-y)y2,dy =12integral0^9(9y-y^2),dy =12l[9y^22-y^33r]0^9 =2434,
integral0^9(9-y)y^3/2,dy =integral0^99y^3/2,dy-integral0^9y^5/2,dy =9cdot259^5/2-279^7/2 =43745-43747 =874835
Somando,
m=2434+874835 =43497140

Resposta

m=43497140

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