Exercício 19 (ELJ 100)
Seja
uma transformação linear auto-adjunta.
a) Mostre que os extremos da função
dada por
condicionada à esfera
são autovetores de
e os valores extremos são os autovalores correspondentes.
b) Conclua que o valor máximo e o valor mínimo da função
dada por
sobre a circunferência
são os autovalores da matriz
Seja
a) Mostre que os extremos da função
b) Conclua que o valor máximo e o valor mínimo da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da forma quadrática
sujeita à restrição
onde
é autoadjunta. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, pois ele é ideal para otimizar funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Definimos a restrição
Como
é simétrica, a derivada de
é
e de
é
A condição de Lagrange é
Passo 3
Da equação
vemos que
é autovetor de
com autovalor
. Além disso,
Portanto todo ponto crítico em
é um autovetor de
e o valor de
naquele ponto é o autovalor correspondente.
Passo 4
Concluímos o item (a): os extremos de
restrita à esfera
são exatamente os autovetores de
e os valores extremos de
são os autovalores de
.
Passo 5
Para o item (b), note que em
é a forma quadrática associada à matriz simétrica
e a restrição
é
. Pelos resultados acima, o valor máximo e mínimo de
na circunferência são os autovalores de
, que se calculam como
Resposta
(a) Os extremos de
ocorrem em autovetores de
e os valores extremos são os autovalores de
.
(b) Os valores máximo e mínimo de sobre
são
(b) Os valores máximo e mínimo de