Exercício 19 (ELJ 100)
Seja A: R^n R^n uma transformação linear auto-adjunta.
a) Mostre que os extremos da função f: R^n R dada por f(x)=lang<= A(x), xrang<= condicionada à esfera S^n-1 são autovetores de A e os valores extremos são os autovalores correspondentes.
b) Conclua que o valor máximo e o valor mínimo da função f: R^2 R dada por f(x, y)=a x^2+2 b x y+c y^2 sobre a circunferência x^2+y^2=1 são os autovalores da matriz
(ll a & b b & c )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da forma quadrática
f(x)=lang<= A(x),xrang<=
sujeita à restrição
lang<= x,xrang<==1,
onde AcolonR^ntoR^n é autoadjunta. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, pois ele é ideal para otimizar funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Definimos a restrição
g(x)=lang<= x,xrang<=-1=0
Como A é simétrica, a derivada de f é
nabla f(x)=2,A x
e de g é
nabla g(x)=2,x
A condição de Lagrange é
nabla f(x)=mu,nabla g(x) Longrightarrow 2,A x=2,mu,x Longrightarrow A x=mu,x

Passo 3

Da equação A x=mu,x vemos que x é autovetor de A com autovalor mu. Além disso,
f(x)=lang<= A x,xrang<==lang<= mu x,xrang<= =mu,lang<= x,xrang<= =mucdot1 =mu
Portanto todo ponto crítico em S^n-1 é um autovetor de A e o valor de f naquele ponto é o autovalor correspondente.

Passo 4

Concluímos o item (a): os extremos de f restrita à esfera S^n-1 são exatamente os autovetores de A e os valores extremos de f são os autovalores de A.

Passo 5

Para o item (b), note que em
é a forma quadrática associada à matriz simétrica
e a restrição é . Pelos resultados acima, o valor máximo e mínimo de na circunferência são os autovalores de , que se calculam como

Resposta

(a) Os extremos de f|S^n-1 ocorrem em autovetores de A e os valores extremos são os autovalores de A.
(b) Os valores máximo e mínimo de f(x,y)=a x^2+2b x y+c y^2 sobre x^2+y^2=1 são
lambda1,2 =a+c2pm raizl(a-c2r)^2+b^2

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