Determine se \mathbf{F} é ou não um campo conservativo:
\mathbf{F}(x, y)=e^{x} \cos (y) \mathbf{i}+e^{x} \operatorname{sen}(y) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo
F(x,y)=e^xcos(y),i+e^xsin(y),j
é conservativo. O conteúdo aqui é o teste de campo conservativo em R^2: num domínio simplesmente conexo (como R^2), F(x,y)=(P,Q) é conservativo se, e somente se,
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x

Passo 2

Identificamos as componentes
P(x,y)=e^xcos(y), Q(x,y)=e^xsin(y),
e observamos que o domínio natural é todo R^2, que é simplesmente conexo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^xcos(y)r) =-,e^xsin(y),
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^xsin(y)r) =e^xsin(y)

Passo 4

Comparando, vemos que
partial Ppartial y=-e^xsin(y) e partial Qpartial x=e^xsin(y)
são claramente diferentes para e^xsin(y)neq0.

Passo 5

Como o domínio é simplesmente conexo mas
partial Ppartial yneqpartial Qpartial x,
o campo F não satisfaz o critério de conservatividade.

Resposta

O campo F(x,y)=e^xcos(y),i+e^xsin(y),j não é conservativo.

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