Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
que não é exata. Vamos reconhecer que
e
e buscar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando
como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos um fator integrante que dependa só de
. Para isso computamos
que é função apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
ou seja
Agora conferimos
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
varphi(x,y) tal que
Integramos
M^* em relação a
x :
Derivando em
y e igualando a
N^* :
Passo 6
A solução geral vem de
isto é