Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(3 y^2-x^2+1) d x+2 x y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(3y^2-x^2+1r),dx + 2xy,dy = 0
que não é exata. Vamos reconhecer que M(x,y)=3y^2-x^2+1 e N(x,y)=2xy e buscar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y=6y, partial Npartial x=2y,
como 6yneq2y, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos um fator integrante que dependa só de x. Para isso computamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN =6y-2y2xy=4y2xy=2x,
que é função apenas de x. Logo
mu(x)=exp!l(integral 2x,dxr) =expl(2ln|x|r) =x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^2, obtendo
underbracex^2(3y^2-x^2+1) M^*,dx +underbracex^2cdot2xy N^*,dy =0
ou seja
M^*(x,y)=3x^2y^2-x^4+x^2, N^*(x,y)=2x^3y
Agora conferimos
partial M^*partial y=6x^2y, partial N^*partial x=6x^2y,
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial varphi(x,y) tal que
partial varphipartial x=M^* e partial varphipartial y=N^*
Integramos M^* em relação a x:
varphi(x,y)=integral(3x^2y^2-x^4+x^2),dx =x^3y^2-x^55+x^33+h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
partial varphipartial y =2x^3y+h'(y) stackrel!=2x^3y ;Longrightarrow; h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=const

Passo 6

A solução geral vem de
varphi(x,y)=C,
isto é
x^3y^2-x^55+x^33=C

Resposta

x^3y^2-x^55+x^33=C

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