Determine se
\mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que
\mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y
\mathbf{i}+e^{x} \operatorname{sen} y
\mathbf{j}
\mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que
\mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y
\mathbf{i}+e^{x} \operatorname{sen} y
\mathbf{j}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservador, isto é, se existe uma função potencial tal que
.
Conteúdo: em (domínio simplesmente conexo), um campo
é conservador se e somente se
é conservador, isto é, se existe uma função potencial
Conteúdo: em
Passo 2
Identificamos
Vamos calcular as derivadas mistas.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Para ser conservador precisamos de
para todo
. Mas
em geral, então
e o campo não é conservador. Não existe, portanto, função potencial
.
Resposta
O campo
não é conservador.