Determine se
\mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que
\mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y
\mathbf{i}+e^{x} \operatorname{sen} y
\mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=e^{x}\operatorname{sen} y\,\mathbf{i}+e^{x}\operatorname{sen} y\,\mathbf{j}
é conservador, isto é, se existe uma função potencial f(x,y) tal que \mathbf{F}=\nabla f.
Conteúdo: em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo), um campo \mathbf{F}=(P,Q) é conservador se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^{x}\operatorname{sen} y, \qquad Q(x,y)=e^{x}\operatorname{sen} y.
Vamos calcular as derivadas mistas.

Passo 3

Calculando \partial P/\partial y:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\operatorname{sen} y\bigr) =e^{x}\cos y.
Calculando \partial Q/\partial x:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\operatorname{sen} y\bigr) =e^{x}\operatorname{sen} y.

Passo 4

Para ser conservador precisamos de
e^{x}\cos y = e^{x}\operatorname{sen} y
para todo (x,y). Mas \cos y\neq\operatorname{sen} y em geral, então
\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}
e o campo não é conservador. Não existe, portanto, função potencial f.

Resposta

O campo \mathbf{F} não é conservador.

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