Esboce a regiāo delimitada pelas curvas x=y^{2} e x=4 y-y^{2}. Depois calcule a área da região

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região delimitada pelas curvas x=y^2 e x=4y-y^2 e, em seguida, calcular a área dessa região. O conteúdo envolvido é o cálculo de área de uma região plana usando integração em relação a y.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de x:
y^2 = 4y - y^2.
Isso dá
2y^2 - 4y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y(y-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0 \text{ ou } y=2.

Passo 3

Para cada y\in[0,2], determinamos qual curva está à esquerda e qual está à direita comparando y^2 e 4y-y^2. Observe
(4y-y^2) - y^2 = 4y - 2y^2 = 2y(2-y)\ge 0 \quad\text{em }[0,2],
logo x=y^2 é a fronteira esquerda e x=4y-y^2 é a fronteira direita.

Passo 4

No esboço, desenhe o eixo y, a parábola x=y^2 (abre para a direita com vértice em (0,0)) e a parábola
x=4y-y^2 \;=\; -(y-2)^2+4
(abre para a esquerda com vértice em (4,2)). Elas se cruzam em y=0 e y=2, formando uma “lente” entre elas.

Passo 5

A área A é dada por
A = \int_{y=0}^{2} \bigl[(4y-y^2) - y^2\bigr]\,dy = \int_{0}^{2} (4y - 2y^2)\,dy.
Calculando,
\int_{0}^{2} 4y\,dy = 2y^2\Big|_{0}^{2} = 8, \quad \int_{0}^{2} 2y^2\,dy = \tfrac{2}{3}y^3\Big|_{0}^{2} = \tfrac{16}{3},
portanto
A = 8 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{8}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{8}{3}.

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