Expresse z_{1}=-8 \sqrt{3}+8 i na forma polar.
Expresse a resposta em termos exatos, usando graus, de forma que seu ângulo esteja no intervalo inclusivo de 0^{\circ} e 360^{\circ}.
z_{1}=\square

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo \displaystyle z_{1} = -8\sqrt{3} + 8\,i
na forma polar, ou seja, encontrar o módulo r e o argumento \theta, com \theta em graus no intervalo [0^\circ,360^\circ].

Passo 2

Calculamos o módulo r pela definição:
r = \sqrt{(\Re z_{1})^2 + (\Im z_{1})^2} = \sqrt{\bigl(-8\sqrt{3}\bigr)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{192 + 64} = \sqrt{256} = 16.

Passo 3

Para o argumento \theta usamos \displaystyle \theta = \arctan\bigl(\tfrac{\Im z_{1}}{\Re z_{1}}\bigr)
e ajustamos ao quadrante onde z_{1} está. Primeiro,
\arctan\!\biggl(\frac{8}{-8\sqrt{3}}\biggr) = \arctan\!\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = -30^\circ.
Como \Re z_{1}<0 e \Im z_{1}>0, z_{1} está no segundo quadrante, então
\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.

Passo 4

Escrevendo z_{1} na forma polar r(\cos\theta + i\sin\theta) com os valores encontrados:
z_{1} = 16\bigl(\cos150^\circ + i\sin150^\circ\bigr).

Resposta

z_{1} = 16\bigl(\cos150^\circ + i\sin150^\circ\bigr)

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