Determine se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
\mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+\frac{1}{t} \mathbf{j}+t \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. A função vetorial fornecida é
\mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+\frac{1}{t}\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}.
Informações relevantes dadas:
  • A função tem três componentes escalares: \;r_1(t)=t^{2},\; r_2(t)=\dfrac{1}{t},\; r_3(t)=t.
  • A pergunta é sobre continuidade em t=0.

Passo 2

Definição e critério prático (explicado de forma simples):
  • Uma função vetorial \mathbf{r}(t) é contínua em t=a se e somente se existe \mathbf{r}(a) e
\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(a).
  • Para funções vetoriais com componentes r_1,r_2,r_3, o limite vetorial existe e é finito se e somente se cada limite das componentes existe e é finito:
\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t)=\Bigl(\lim_{t\to a}r_1(t),\;\lim_{t\to a}r_2(t),\;\lim_{t\to a}r_3(t)\Bigr),
desde que os três limites no parêntese existam e sejam números reais. Dessa forma, \mathbf{r} é contínua em a exatamente quando cada componente é contínua em a.
Explicação intuitiva: imagine que a coordenada em y (a componente \mathbf{j}) explode para infinito quando t se aproxima de 0. Mesmo que as outras duas coordenadas se comportem bem, o vetor inteiro não tem um limite finito — e portanto não pode ser contínuo.

Passo 3

Verificar a definição no ponto t=0: primeiro, existe \mathbf{r}(0) definido pela expressão dada?
  • Para a primeira componente temos r_1(0)=0^{2}=0.
  • Para a terceira componente temos r_3(0)=0.
  • Para a segunda componente r_2(t)=\dfrac{1}{t}. Em t=0 essa expressão não está definida; portanto \mathbf{r}(0) não existe (a função vetorial, tal como escrita, não fornece um valor para t=0).
Conclusão parcial: como não existe \mathbf{r}(0), a condição necessária para continuidade em 0 já falha — não há como ter \lim_{t\to0}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(0) se \mathbf{r}(0) não está definido.

Passo 4

Mesmo tentando ver se existe o limite \lim_{t\to0}\mathbf{r}(t), basta olhar para a segunda componente:
\lim_{t\to0}\frac{1}{t}
essa limite não existe como número real. Uma demonstração simples com sequências:
  • Tome t_n=\dfrac{1}{n}>0. Então \dfrac{1}{t_n}=n\to +\infty quando n\to\infty.
  • Tome s_n=-\dfrac{1}{n}<0. Então \dfrac{1}{s_n}=-n\to -\infty quando n\to\infty.
Como os limites ao aproximar de 0 por lados/sequências diferentes não produzem o mesmo valor finito (na verdade divergem para sinais opostos), o limite \lim_{t\to0}\dfrac{1}{t} não existe. Logo \lim_{t\to0}\mathbf{r}(t) também não existe como vetor finito. Portanto não há nenhum valor a ser atribuído a \mathbf{r}(0) que torne \mathbf{r} contínua em 0.

Passo 5

Resumo didático e conclusão final: para que uma função vetorial fosse contínua em 0 seria preciso que cada componente tivesse limite finito em 0 e que a função estivesse definida em 0. Aqui a componente \dfrac{1}{t} não está definida em 0 e seu limite quando t\to0 não existe (diverge para \pm\infty). Por isso \mathbf{r}(t) não é contínua em t=0. Fica o recado amigo: sempre verifique componente a componente — um único problema em uma componente estraga a continuidade do vetor todo.

Resposta

Não. \mathbf{r}(t) não é contínua em t=0.

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