Determine se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
\mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+\frac{1}{t} \mathbf{j}+t \mathbf{k}
\mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+\frac{1}{t} \mathbf{j}+t \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se
é contínua em
. A função vetorial fornecida é
Informações relevantes dadas:
- A função tem três componentes escalares:
- A pergunta é sobre continuidade em
.
Passo 2
Definição e critério prático (explicado de forma simples):
- Uma função vetorial
é contínua em se e somente se existe e
- Para funções vetoriais com componentes
, o limite vetorial existe e é finito se e somente se cada limite das componentes existe e é finito:
desde que os três limites no parêntese existam e sejam números reais. Dessa forma,
é contínua em
exatamente quando cada componente é contínua em
.
Explicação intuitiva: imagine que a coordenada em
(a componente
) explode para infinito quando
se aproxima de
. Mesmo que as outras duas coordenadas se comportem bem, o vetor inteiro não tem um limite finito — e portanto não pode ser contínuo.
Passo 3
Verificar a definição no ponto
: primeiro, existe
definido pela expressão dada?
- Para a primeira componente temos
. - Para a terceira componente temos
. - Para a segunda componente
. Em essa expressão não está definida; portanto não existe (a função vetorial, tal como escrita, não fornece um valor para ).
Conclusão parcial: como não existe
, a condição necessária para continuidade em
já falha — não há como ter
se
não está definido.
Passo 4
Mesmo tentando ver se existe o limite
, basta olhar para a segunda componente:
essa limite não existe como número real. Uma demonstração simples com sequências:
- Tome
. Então quando . - Tome
. Então quando .
Como os limites ao aproximar de
por lados/sequências diferentes não produzem o mesmo valor finito (na verdade divergem para sinais opostos), o limite
não existe. Logo
também não existe como vetor finito. Portanto não há nenhum valor a ser atribuído a
que torne
contínua em
.
Passo 5
Resumo didático e conclusão final: para que uma função vetorial fosse contínua em
seria preciso que cada componente tivesse limite finito em
e que a função estivesse definida em
. Aqui a componente
não está definida em
e seu limite quando
não existe (diverge para
). Por isso
não é contínua em
. Fica o recado amigo: sempre verifique componente a componente — um único problema em uma componente estraga a continuidade do vetor todo.
Resposta
Não.
não é contínua em
.