Determine se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0. Explique seu raciocínio.
\mathbf{r}(t)=3 \operatorname{sen} t \mathbf{i}-2 t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se \mathbf{r}(t) é contínua em t=0 e explicar o raciocínio. A função dada é
\mathbf{r}(t)=3\operatorname{sen} t\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial tem duas componentes: a componente na direção \mathbf{i} é 3\operatorname{sen} t e a componente na direção \mathbf{j} é -2t.
  • A pergunta é sobre continuidade em t=0.

Passo 2

Definição de continuidade para função vetorial (explicação didática):
  • Uma função vetorial \mathbf{r}(t) é contínua em t=a se
\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(a).
  • Para funções vetoriais em \mathbb{R}^2 (duas componentes), isso equivale a exigir que as duas componentes sejam contínuas em t=a. Ou seja, escrever \mathbf{r}(t)=(r_1(t),r_2(t)); então \mathbf{r} é contínua em a se e somente se
\lim_{t\to a}r_1(t)=r_1(a)\quad\text{e}\quad\lim_{t\to a}r_2(t)=r_2(a).
Breve justificativa intuitiva: o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes (quando esses limites existem).

Passo 3

Calcular o valor de \mathbf{r} em t=0 (passo necessário para comparar com o limite):
\mathbf{r}(0)=3\operatorname{sen} 0\,\mathbf{i}-2\cdot 0\,\mathbf{j}.
Como \operatorname{sen} 0=0, segue que
\mathbf{r}(0)=(0,0).

Passo 4

Calcular os limites das componentes quando t\to 0 (método componente a componente, que é simples e suficiente):
  • Para a componente \mathbf{i}:
\lim_{t\to 0}3\operatorname{sen} t=3\cdot\lim_{t\to 0}\operatorname{sen} t=3\cdot 0=0,
porque a função \operatorname{sen} t é contínua em 0.
  • Para a componente \mathbf{j}:
\lim_{t\to 0}-2t=-2\cdot\lim_{t\to 0}t=-2\cdot 0=0,
porque a função identidade t é contínua.
Portanto
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=(0,0)=\mathbf{r}(0),
o que já mostra que \mathbf{r} é contínua em t=0.

Passo 5

Se quiseres uma justificativa rigorosa no estilo \varepsilon- \delta (opcional, mas útil para a prova), segue um pequeno argumento com norma vetorial:
  • Considere a norma euclidiana da diferença
\big\lVert \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0)\big\rVert =\sqrt{(3\operatorname{sen} t)^2+(-2t)^2}=\sqrt{9\operatorname{sen}^2 t+4t^2}.
  • Usando a desigualdade clássica |\operatorname{sen} t|\le |t| para todo t, obtemos
\big\lVert \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0)\big\rVert \le \sqrt{9t^2+4t^2}=\sqrt{13}\,|t|.
  • Dados \varepsilon>0, basta escolher \delta=\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{13}}. Então, se |t|<\delta,
\big\lVert \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0)\big\rVert \le \sqrt{13}\,|t|<\sqrt{13}\,\delta=\varepsilon.
Isso prova formalmente que \lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(0), i.e., continuidade em 0.

Resposta

Sim. \mathbf{r}(t) é contínua em t=0.

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