Determine \mathbf{a} com representação dada pelo segmento de reta orientado A B. Desenhe A B e o equivalente com início na origem.
\langle 3,-1\rangle,

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o vetor \mathbf{a} cuja representação é dada pelo segmento de reta orientado AB e desenhar o segmento AB e a sua versão equivalente com início na origem. O enunciado nos dá explicitamente a representação
\langle 3,-1\rangle.

Passo 2

O que significa “representação dada pelo segmento orientado AB”?
Definição prática: o vetor que vai de A a B é
\overrightarrow{AB} = \langle x_B-x_A,\;y_B-y_A\rangle,
onde A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B).
Explicando devagar: cada componente do vetor é a diferença entre as coordenadas finais e iniciais. A primeira componente diz quanto o vetor se desloca na direção x (direita/izquierda) e a segunda componente diz quanto se desloca na direção y (cima/baixo).

Passo 3

O enunciado já nos deu a representação do segmento orientado AB como \langle 3,-1\rangle. Portanto, pelo item anterior,
\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}=\langle 3,-1\rangle.
Isto é, o vetor associado ao segmento AB tem componente x igual a 3 (vai 3 unidades para a direita) e componente y igual a -1 (vai 1 unidade para baixo).

Passo 4

Como desenhar o segmento AB (passo a passo concreto): escolha uma posição para A. Por exemplo, pegamos
A=(1,2) (pode ser qualquer ponto).
Para obter B usamos
\;B=A+\langle 3,-1\rangle\;=\;(1+3,\;2-1)=(4,1).
Expliquei cada conta: somamos componente a componente. Então, no plano cartesiano:
  • marque o ponto A em (1,2);
  • marque o ponto B em (4,1);
  • desenhe uma seta do ponto A para o ponto B (essa seta é o segmento orientado AB).

Passo 5

Como desenhar o vetor equivalente com início na origem: um vetor equivalente tem mesma direção, sentido e comprimento, só é “transladado” no plano. O vetor com início na origem correspondente é o segmento do ponto (0,0) até o ponto (3,-1).
Passos para desenhar:
  • marque a origem (0,0);
  • marque o ponto (3,-1);
  • desenhe a seta da origem até (3,-1).
    Essa seta é equivalente ao segmento AB que desenhamos no Passo 4.

Passo 6

Cálculo do comprimento (módulo) do vetor \mathbf{a}: usamos a fórmula do comprimento de um vetor bidimensional
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{(\text{componente }x)^2+(\text{componente }y)^2}.
Aqui as componentes são 3 e -1, então
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Isto nos diz o tamanho da seta que desenhamos (aprox. 3,162 unidades).

Passo 7

Direção do vetor em relação ao eixo x: a tangente do ângulo \theta que o vetor faz com o eixo positivo x é
\tan\theta=\frac{\text{componente }y}{\text{componente }x}=\frac{-1}{3}.
Portanto \theta=\arctan\!\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr). Como a componente x é positiva e a y é negativa, o vetor está no quadrante IV, então \theta é um ângulo negativo pequeno (aprox. -18{,}43^\circ). Não é necessário memorizar o número, mas saber como obtê‑lo na prova com uma tabela ou calculadora.

Passo 8

Observações finais e dicas para a prova:
  • Se o enunciado der apenas a representação \langle a,b\rangle, essa é exatamente a forma das componentes do vetor \overrightarrow{AB}.
  • Para desenhar um segmento dado \langle a,b\rangle a partir de um ponto A=(x_A,y_A), calcule B=(x_A+a,\;y_A+b) e trace a seta.
  • Para colocar o vetor na origem, basta desenhar a seta de (0,0) até (a,b).
    Vai dar certo — pratique desenhando alguns vetores começando em pontos diferentes para fixar a ideia de equivalência por translação.

Resposta

\langle 3,-1\rangle
Segmento equivalente com início na origem: do ponto (0,0) ao ponto (3,-1).

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