A reação \mathrm{A}_{(\mathrm{g})}+2 \mathrm{~B}_{(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{C}_{(\mathrm{g}, \mathrm{L})}, em fase gasosa, é processada em uma unidade reacional composta por um CSTR seguido em série por um PFR. A alimentação no primeiro reator é formada por 30 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} de \mathrm{A}, 90 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} de B e 30 \mathrm{~mol} / \mathrm{min} de inerte. O reator CSTR possui volume de 6000 \mathrm{dm}^{3} e o sistema é operado de forma isobárico ( \mathrm{P}=125 \mathrm{~atm} ) e isotérmico ( \mathrm{T}=273 \mathrm{~K} ). O produto C pode sofrer condensação quando a sua pressão parcial for igual a sua pressão de vapor ( \mathrm{P}^{\mathrm{v}} \mathrm{c}=20 \mathrm{~atm} ).
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(-r) \mathrm{mol} / \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~min} 0,01 0,005 0,002 0,001 0,0009 0,0008

Calcule:

a) A conversão na corrente de saída do CSTR. Resp. X=0,4
b) A conversão na qual a condensação da espécie C se inicia. Resp. X=0,6
c) O volume do PFR, considerando que a sua conversão de saída é a de condensação. Resp. V=4.166,7 L
d) A concentração da espécie A a 80 \% de conversão, considerando que o PFR anterior (utilizado no item “c”) tenha sido substituído por um de maior comprimento. Resp. Ca=0,36

Passo 1

Descrição do que o problema pede e dados fornecidos:
  • Reação: \mathrm{A}_{(g)} + 2\,\mathrm{B}_{(g)} \rightarrow \mathrm{C}_{(g,L)}.
  • Alimentação (fluxos molares, em \mathrm{mol/min}): \;F_{A0}=30,\;F_{B0}=90,\;F_{I0}=30 (inertes).
  • Volume do CSTR: \;V_{\text{CSTR}}=6000\\ \mathrm{dm}^3.
  • Operação: isobárica e isotérmica com \;P=125\\ \mathrm{atm},\;T=273\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de vapor de C: \;P^{v}_{C}=20\\ \mathrm{atm}. Condensação de C ocorre quando sua pressão parcial atinge 20\\ \mathrm{atm}.
  • Tabela com taxa de reação (taxa de desaparecimento de A) em função da conversão X (unidade \mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}):
    \;X=0 \rightarrow (-r)=0,01
    \;X=0,2 \rightarrow (-r)=0,005
    \;X=0,4 \rightarrow (-r)=0,002
    \;X=0,6 \rightarrow (-r)=0,001
    \;X=0,8 \rightarrow (-r)=0,0009
    \;X=1 \rightarrow (-r)=0,0008
  • Pedidos (quatro itens):
    a) conversão na saída do CSTR;
    b) conversão na qual começa a condensação de C;
    c) volume do PFR cuja saída atinge a conversão de condensação;
    d) concentração de A quando a conversão de saída (do sistema CSTR+PFR substituído) for 80\%.
Observações (importantes e usadas depois):
  • Fluxo total de alimentação inicial: F_{T0}=30+90+30=150\\ \mathrm{mol/min}.
  • Em cada reação 1 mol de A reage com 2 mol de B para formar 1 mol de C; portanto a reação reduz o número total de mols gasosos (3 mols gasosos → 1 mol gasoso/liquid o que reduz o total).

Passo 2

Cálculo da conversão na saída do CSTR.
Teoria rápida e fórmula usada:
  • Balanço molar estacionário para um CSTR para o reagente A: F_{A0}X = V(-r_A)onde F_{A0} é o fluxo molar de alimentação de A ( \mathrm{mol/min}), X é a conversão no reator, V é o volume do CSTR ( \mathrm{dm}^3) e -r_A é a taxa de consumo de A ( \mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}) avaliada na condição de saída (i.e., na conversão X). Essa equação vem de: entrada menos saída mais geração = acúmulo (steady-state acúmulo = 0), resultando em F_{A0}-F_{A0}(1-X) + r_A V =0 e rearranjando.
Aplicando os dados:
  • F_{A0}=30\\ \mathrm{mol/min}, V=6000\\ \mathrm{dm}^3.
  • Olhamos a tabela: para \;X=0,4 temos (-r)=0,002\\ \mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}.
  • Calcule V(-r)=6000\cdot 0,002=12\\ \mathrm{mol/min}.
  • Portanto F_{A0}X = 12 \Rightarrow X = 12/30 = 0,4.
Conclusão deste passo: a conversão no CSTR é \;X=0,4 (confere com o valor esperado).

Passo 3

Determinar a conversão na qual a condensação de C se inicia.
Raciocínio físico:
  • A condensação começa quando a pressão parcial de C no gás atinge P^{v}_{C}=20\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão parcial é p_C = y_C\,P, com y_C fração molar de C na fase gasosa e P pressão total (aqui 125\\ \mathrm{atm}).
Expressão da fração molar de C em função de X:
  • Mols de C produzidos por minuto: F_C = 30X.
  • Mols restantes de A: F_A = 30(1-X).
  • Mols restantes de B: F_B = 90-60X.
  • Inertes: 30.
  • Total de mols na corrente (antes de condensação) é F_T = 30(1-X) + (90-60X) + 30 + 30X = 150 - 60X.(a conta inclui os 30X de C na soma).
  • Fração molar de C: y_C = \frac{30X}{150 - 60X}.
Condição de início de condensação:
p_C = P\,y_C = 20\\ \mathrm{atm}.
Substituindo P=125\\ \mathrm{atm} e y_C:
125\cdot \frac{30X}{150-60X} = 20.
Resolvendo algebricamente:
\frac{3750X}{150-60X} = 20
3750X = 20(150-60X)=3000 -1200X
3750X +1200X =3000
4950X =3000
X = \frac{3000}{4950} \approx 0,60606\ldots
Arredondamento e interpretação:
  • Numericamente X \approx 0,606. O enunciado/resp. tabulada indica \;X=0,6 (arredondamento a uma casa decimal). Portanto a condensação inicia aproximadamente em \;X=0,6.

Passo 4

Cálculo do volume do PFR necessário para aumentar a conversão da saída do CSTR ( X_{\text{in}}=0,4) até a conversão de condensação ( X_{\text{out}}=0,6).
Teoria e fórmula:
  • Para um PFR a equação diferencial de balanço para A (unidade volumétrica, fluxo molar F_A) dá: \frac{dF_A}{dV} = r_A \quad\Rightarrow\quad dV = \frac{dF_A}{r_A}.Como F_A = F_{A0}(1-X) então dF_A = -F_{A0} dX e, com r_A=-(-r), V = F_{A0}\int_{X_{\text{in}}}^{X_{\text{out}}} \frac{dX}{(-r(X))}.Aqui (-r(X)) é a taxa (positiva) fornecida na tabela em \mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}. F_{A0} em \mathrm{mol/min} V em \mathrm{dm}^3.
Observação prática:
  • A tabela fornece valores discretos de (-r) em pontos X=0,4 e X=0,6, não uma função contínua. Assim usamos uma regra numérica de integração. A regra de Simpson compensa bem com três pontos (0,4; 0,5; 0,6) e é simples e precisa para um comportamento quase linear entre pontos.
Aplicação numérica (Simpson):
  • Precisamos de \;(-r) em X=0,4,\;0,5,\;0,6.
  • Da tabela: (-r)_{0,4}=0,002,\;(-r)_{0,6}=0,001.
  • Estimamos (-r)_{0,5} por interpolação linear entre 0,4 e 0,6: (-r)_{0,5} = \frac{0,002 + 0,001}{2} = 0,0015.
  • A regra de Simpson para a integral \int_{0,4}^{0,6} \dfrac{dX}{(-r)} com \Delta X=0,2 é: \int_{0,4}^{0,6} \frac{dX}{(-r)} \approx \frac{\Delta X}{6}\left(\frac{1}{(-r)_{0,4}} + 4\frac{1}{(-r)_{0,5}} + \frac{1}{(-r)_{0,6}}\right).
  • Substituindo valores: \Delta X = 0,2,
\frac{1}{(-r)_{0,4}} = \frac{1}{0,002}=500,\quad \frac{1}{(-r)_{0,5}} = \frac{1}{0,0015}\approx 666{,}6667,\quad \frac{1}{(-r)_{0,6}} = \frac{1}{0,001}=1000.
\int_{0,4}^{0,6} \frac{dX}{(-r)} \approx \frac{0,2}{6}\left(500 + 4\cdot 666{,}6667 + 1000\right)
= \frac{0,2}{6}\left(500 + 2666{,}6668 + 1000\right) = \frac{0,2}{6}\cdot 4166{,}6668 = \frac{0,2\cdot 4166{,}6668}{6} = \frac{833{,}33336}{6} = 138{,}88889\\ \mathrm{(min/dm}^3\!\text{ no inverso, unidade da integral)}.
  • Multiplicando por F_{A0}=30\\ \mathrm{mol/min}: V = 30 \cdot 138{,}88889 \approx 4166{,}667\\ \mathrm{dm}^3 = 4166{,}7\\ \mathrm{L}.
Comentário: escolhemos Simpson porque temos valores nos extremos e um ponto central estimado; Simpson fornece boa precisão para funções suaves e é um método básico acessível em prova.

Passo 5

Cálculo da concentração de A quando a conversão final do sistema é X=0,8, sabendo que o PFR anterior (do item c) foi substituído por um maior que leva a X=0,8.
Observações físicas importantes:
  • A condensação de C já ocorre para X\ge 0,6. Para X>0,6 parte do C formado se condensa e não fica na fase gasosa; portanto a composição da fase gasosa fica com uma fração molar de C limitada pela pressão de vapor: y_C = P^{v}_{C}/P = 20/125 = 0,16.
  • Após condensação iniciada, devemos fazer o balanço sobre a fase gasosa: nela permanecem A, B, inertes e a porção gasosa de C (limitada a y_C=0,16).
Cálculo detalhado:
  • Para conversão X a produção total de A consumido é 30X, então o fluxo molar de A na saída (fase gasosa) é F_A = 30(1-X).
  • Fluxo molar de B na saída: F_B = 90 - 60X.
  • Inertes: F_I = 30.
  • Denotemos \Phi o fluxo molar total da fase gasosa (mol/min). A fração molar de C na fase gasosa é fixa: y_C = 0,16, então o fluxo molar de C na fase gasosa é F_{C,g} = 0,16\,\Phi.
  • O balanço de mols gasosos é: \Phi = F_A + F_B + F_I + F_{C,g}.Substituindo F_{C,g}=0,16\Phi e somando F_A+F_B+F_I=(30-30X)+(90-60X)+30 = 150 - 90X, obtemos: \Phi = 150 - 90X + 0,16\Phi \quad\Rightarrow\quad 0,84\Phi = 150 - 90X
\Phi = \frac{150 - 90X}{0,84}.
  • Fração molar de A na fase gasosa: y_A = \frac{F_A}{\Phi} = \frac{30(1-X)}{\Phi}.
  • Concentração molar total (ideal-gás) à pressão P e temperatura T: C_{\text{tot}} = \frac{P}{R\,T}.Aqui usamos R=0,082057\\ \mathrm{dm}^3\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}), portanto C_{\text{tot}} = \frac{125}{0,082057\cdot 273}\\ \mathrm{mol/dm}^3 \approx 5{,}5769\\ \mathrm{mol/dm}^3.
  • Assim a concentração de A (fase gasosa) é C_A = y_A\,C_{\text{tot}} = \frac{30(1-X)}{\Phi}\cdot C_{\text{tot}}.
Aplicando com X=0,8:
  • Calcule \Phi: 150 - 90X = 150 - 90\cdot 0,8 = 150 - 72 = 78,
\Phi = \frac{78}{0,84} = 92{,}8571429\\ \mathrm{mol/min}.
  • F_A = 30(1-0,8)=30\cdot 0,2 =6\\ \mathrm{mol/min}.
  • Fração molar de A: y_A = \frac{6}{92{,}8571429} \approx 0{,}064615.
  • Finalmente, C_A = y_A \, C_{\text{tot}} \approx 0{,}064615 \cdot 5{,}5769 \approx 0{,}3606\\ \mathrm{mol/dm}^3.
Arredondando conforme o enunciado: \;C_A \approx 0,36\\ \mathrm{mol/dm}^3.
Pequena motivação final: deu trabalho, mas com calma usando balanços molares (CSTR e PFR) e entendendo que a condensação impõe um teto à fração molar de C (por causa da pressão de vapor) a solução fica direta. Força — você consegue fazer isso na prova!

Resposta

a) X=0,4
b) X\approx0,6
c) V_{\text{PFR}}=4166{,}7\\ \mathrm{L}
d) C_A\\ (X=0,8)=0,36\\ \mathrm{mol/dm}^3

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