Determine \mathbf{a} com representação dada pelo segmento de reta orientado A B. Desenhe A B e o equivalente com início na origem.
\langle 1,3,-2\rangle,

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o vetor \mathbf{a} cuja representação é dada pelo segmento de reta orientado AB; (2) desenhar esse segmento AB e o equivalente que começa na origem.
Informações fornecidas: o vetor associado a AB está indicado por \langle 1,3,-2\rangle. Não há coordenadas explícitas para os pontos A e B no enunciado.

Passo 2

O que significa a representação por um segmento orientado AB? Seja A=(x_1,y_1,z_1) e B=(x_2,y_2,z_2). Por definição, o vetor obtido pelo segmento orientado AB é
\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1\rangle.
Explicando cada termo: x_2-x_1 é a diferença entre as abscissas (quanto o ponto anda no eixo x), y_2-y_1 é a diferença nas ordenadas (eixo y), e z_2-z_1 é a diferença nas cotas (eixo z). Esse vetor descreve o deslocamento do ponto A até o ponto B.

Passo 3

Uma propriedade importante: vetores são independentes de posição. Dois segmentos orientados diferentes que tenham o mesmo conjunto de componentes são vetores equivalentes (ou seja, “iguais” como vetores) mesmo se estiverem em lugares distintos do espaço. Portanto, se o enunciado já nos dá \langle 1,3,-2\rangle, esse é exatamente o vetor \mathbf{a} pedido: os componentes dizem quanto se anda em x, y e z indo de A para B.

Passo 4

Concluindo diretamente: o vetor pedido é
\mathbf{a}=\langle 1,3,-2\rangle.
Aqui cada componente significa: avançar 1 unidade no eixo x, 3 unidades no eixo y e descer 2 unidades no eixo z (o sinal negativo em z indica movimento no sentido negativo de z).

Passo 5

Se você quiser recuperar coordenadas de B a partir de uma coordenada arbitrária de A: se A=(a_1,a_2,a_3), então
B=A+\mathbf{a}=(a_1+1,\;a_2+3,\;a_3-2).
Exemplo concreto (só para visualizar): escolha A=(2,1,0). Então
B=(2+1,\;1+3,\;0-2)=(3,4,-2).
Esse segmento AB tem exatamente o deslocamento \langle 1,3,-2\rangle.

Passo 6

Como desenhar (instruções passo a passo para rabiscar no papel — não preciso de imagem para te explicar):
  1. Desenha três eixos coordenados: x para a direita, y para cima no plano do papel (ou para cima/direita dependendo da tua convenção) e z saindo/entrando (use uma seta inclinada para indicar o eixo z).
  2. Para desenhar o equivalente com início na origem, marca O=(0,0,0) e marca o ponto P=(1,3,-2). Para localizar P faça projeções: primeiro no plano xy vai até (1,3,0), depois desce 2 unidades no eixo z para chegar a (1,3,-2). Traça uma seta de O para P. Essa seta é \overrightarrow{OP}=\langle 1,3,-2\rangle.
  3. Para desenhar um AB que não comece na origem, escolhe qualquer A no espaço, aplica o deslocamento \langle 1,3,-2\rangle e marca B. Traça uma seta de A a B. Visualmente será um segmento paralelo e do mesmo comprimento que \overrightarrow{OP}.

Passo 7

Para te dar uma noção do tamanho (útil para desenhar em escala): o comprimento (norma) do vetor é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}\approx 3,742.
Então, ao desenhar, faz a seta ter esse comprimento na escala que você escolher (por exemplo, 1 unidade no papel = 1 no espaço).

Passo 8

Resumo prático para a prova: se te derem \langle 1,3,-2\rangle, escreva imediatamente \mathbf{a}=\langle 1,3,-2\rangle. Para desenhar o equivalente que começa na origem, plote o ponto (1,3,-2) e trace a seta de (0,0,0) até esse ponto. Se precisarem de B a partir de um A conhecido, some componente a componente.

Resposta

\mathbf{a}=\langle 1,3,-2\rangle
Equivalente com início na origem: \overrightarrow{OP}=\langle 1,3,-2\rangle com P=(1,3,-2).

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