( 0,5 ponto cada item) Determine se o que está estabelecido é falso ou verdadeiro. Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contraexemplo.
Se
\sum c_{n} 6^{n}
diverge, em que
c_{n}>0
. Então, a série
\sum c_{n} 10^{n}
diverge.

Passo 1

O enunciado dá que c_n>0 para todo n e que a série
\sum_{n=1}^{\infty} c_n 6^n
diverge. A pergunta é: a partir disso, a série
\sum_{n=1}^{\infty} c_n 10^n
também diverge? Listei as informações importantes:
  • c_n>0 para todo n.
  • \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_n 6^n diverge (isto significa que as somas parciais tendem a +\infty).
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Compare termo a termo as duas séries. Para cada n temos
10^n \ge 6^n,
como 10 é maior que 6 e a potência preserva a ordem para bases positivas. Como c_n>0, multiplicando ambos os lados por c_n obtemos
c_n 10^n \ge c_n 6^n\qquad\text{para todo }n.

Passo 3

Defina as somas parciais das duas séries:
A_N = \sum_{n=1}^{N} c_n 6^n,\qquad B_N = \sum_{n=1}^{N} c_n 10^n.
Pela desigualdade termo a termo do passo anterior, somando para n=1,\dots,N temos
B_N = \sum_{n=1}^{N} c_n 10^n \ge \sum_{n=1}^{N} c_n 6^n = A_N,
ou seja, B_N \ge A_N para todo N.

Passo 4

Explique por que isso implica divergência de \sum c_n 10^n. Como todos os termos são não negativos, as somas parciais A_N e B_N são monótonas não decrescentes em N. A hipótese diz que \sum c_n 6^n diverge, o que significa
\lim_{N\to\infty} A_N = +\infty.
Mas como B_N \ge A_N para todo N, a sequência B_N não pode permanecer limitada — se A_N vai para +\infty, então B_N também tende a +\infty. Formalmente,
\lim_{N\to\infty} B_N \ge \lim_{N\to\infty} A_N = +\infty,
portanto \lim_{N\to\infty} B_N = +\infty. Isso significa que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_n 10^n diverge.

Passo 5

Resumo didático (tipo “truque” para prova): para séries com termos não negativos, se 0\le a_n\le b_n para todo n, então as somas parciais satisfazem S_a(N)\le S_b(N) para todo N; daí, se \sum a_n diverge, as somas parciais S_a(N)\to+\infty e portanto S_b(N)\to+\infty, isto é, \sum b_n também diverge. No nosso caso tomamos a_n=c_n6^n e b_n=c_n10^n.

Resposta

Verdadeiro.

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