( 0,5 ponto cada item) Determine se o que está estabelecido é falso ou verdadeiro. Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contraexemplo.
Se
diverge, em que
. Então, a série
diverge.
Se
diverge, em que
diverge.
Passo 1
O enunciado dá que
para todo
e que a série
diverge. A pergunta é: a partir disso, a série
também diverge? Listei as informações importantes:
-
para todo . -
diverge (isto significa que as somas parciais tendem a ).
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Compare termo a termo as duas séries. Para cada
temos
como
é maior que
e a potência preserva a ordem para bases positivas. Como
, multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Defina as somas parciais das duas séries:
Pela desigualdade termo a termo do passo anterior, somando para
temos
ou seja,
para todo
.
Passo 4
Explique por que isso implica divergência de
. Como todos os termos são não negativos, as somas parciais
e
são monótonas não decrescentes em
. A hipótese diz que
diverge, o que significa
Mas como
para todo
, a sequência
não pode permanecer limitada — se
vai para
, então
também tende a
. Formalmente,
portanto
. Isso significa que a série
diverge.
Passo 5
Resumo didático (tipo “truque” para prova): para séries com termos não negativos, se
para todo
, então as somas parciais satisfazem
para todo
; daí, se
diverge, as somas parciais
e portanto
, isto é,
também diverge. No nosso caso tomamos
e
.
Resposta
Verdadeiro.