Determine se mathbfF é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(e^2 x+x sen y) i+x^2 cos y j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=l(e^2x+xsin y,;x^2cos yr)
e pede para determinar se ele é conservativo. Em campos vetoriais no plano (domínio R^2, que é simplesmente conexo), usamos o critério
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x,
onde F=(P,Q).

Passo 2

Aqui temos
P(x,y)=e^2x+xsin y, Q(x,y)=x^2cos y
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^2x+xsin yr) =xcos y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2cos yr) =2xcos y

Passo 3

Comparando, vemos que
partial Ppartial y =xcos y e partial Qpartial x =2xcos y,
que não são iguais em geral. Portanto o critério de conservatividade falha.

Resposta

O campo F não é conservativo, pois
partial P/partial y neq partial Q/partial x.

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