Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, determine sua soma.
sumn=1^infty ln (nn+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty ln!l(nn+1r)
Esse é um problema de séries infinitas e vamos usar a propriedade dos logaritmos e telescoping para ver se a soma parcial tem limite finito.

Passo 2

Usamos a identidade de logaritmos
ln!l(nn+1r) =ln(n)-ln(n+1)

Passo 3

Formamos a soma parcial SN=sumn=1^Nln!l(nn+1r). Substituindo a diferença de logs,
SN =sumn=1^Nl[ln(n)-ln(n+1)r] =(ln1-ln2)+(ln2-ln3)+cdots+(ln N-ln(N+1))
Isso telescopa, deixando
SN=ln(1)-ln(N+1)=-ln(N+1)

Passo 4

Para testar convergência, examinamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl[-ln(N+1)r] =-infty
Como a soma parcial tende a -infty, não existe soma finita.

Resposta

A série diverge (tende a -infty).

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