Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, encontre seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo é cálculo de limite de sequência, lidando com a forma indeterminada
e usando a técnica de racionalização.
Passo 2
Notamos que, para
, tanto
quanto
vão para
, gerando a forma indeterminada
. Para resolver, multiplicamos e dividimos pelo conjugado
.
Passo 3
Multiplicando por 1 na forma do conjugado, obtemos
Passo 4
Para explorar o comportamento quando
, fatoramos
dentro da raiz e no denominador:
logo
Passo 5
Agora aplicamos o limite em cada parte:
Portanto,
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.