Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, encontre seu limite.
raizn^2+3 n-n

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = raizn^2+3n-n
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo é cálculo de limite de sequência, lidando com a forma indeterminada infty - infty e usando a técnica de racionalização.

Passo 2

Notamos que, para ntoinfty, tanto raizn^2+3n quanto n vão para infty, gerando a forma indeterminada infty - infty. Para resolver, multiplicamos e dividimos pelo conjugado raizn^2+3n+n.

Passo 3

Multiplicando por 1 na forma do conjugado, obtemos
an = l(raizn^2+3n-nr)raizn^2+3n+nraizn^2+3n+n =n^2+3n - n^2raizn^2+3n+n =3nraizn^2+3n+n

Passo 4

Para explorar o comportamento quando ntoinfty, fatoramos n dentro da raiz e no denominador:
raizn^2+3n = nraiz1+3n,
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an = 3n,nl(raiz1+tfrac3n+1r) =3raiz1+tfrac3n+1

Passo 5

Agora aplicamos o limite em cada parte:
limntoinftyraiz1+3n = raiz1+0 = 1
Portanto,
limntoinftyan =limntoinfty3raiz1+tfrac3n+1 =31+1 =32

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é tfrac32.

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