Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O problema de valor inicial (PVI) é
O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo para converter a derivada numa integral e o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) para garantir que há uma e só uma solução.
Passo 2
Defina
. Vemos que
é contínua em
para todo
e todo
. Além disso,
, logo
satisfaz condição de Lipschitz em
. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, há uma única solução local (e, como
não explode, ela se estende a todo
).
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a solução satisfaz
Passo 4
Calcule a integral indefinida. Seja
, então
e
. Obtemos
Voltando a
,
Passo 5
Agora a integral definida de
a
é
Substituindo em
, fica
Passo 6
Concluímos que a única solução do PVI em
é dada pela expressão acima, compatível com existência e unicidade.