Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
\left{ y^prime(x) & =x e^x-1, em (-10,11) y(1) & =5\right.

Passo 1

O problema de valor inicial (PVI) é
y'(x)=x e^x-1,&xin(-10,11), y(1)=5
O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo para converter a derivada numa integral e o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) para garantir que há uma e só uma solução.

Passo 2

Defina f(x,y)=x e^x-1. Vemos que f é contínua em (x,y) para todo xin(-10,11) e todo yinR. Além disso, partial f/partial y=0, logo f satisfaz condição de Lipschitz em y. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, há uma única solução local (e, como f não explode, ela se estende a todo (-10,11)).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a solução satisfaz
y(x)=y(1)+integral1^xf(t,y(t)),dt =5+integral1^xt e^t-1,dt

Passo 4

Calcule a integral indefinida. Seja u=t-1, então du=dt e t=u+1. Obtemos
integral t e^t-1,dt =integral(u+1)e^u,du =integral u e^u,du+integral e^u,du =(u e^u-e^u)+e^u+C = u e^u+C
Voltando a t,
integral t e^t-1,dt=(t-1)e^t-1+C

Passo 5

Agora a integral definida de 1 a x é
integral1^xt e^t-1,dt =l[(t-1)e^t-1r]t=1^t=x =(x-1)e^x-1-(1-1)e^0 =(x-1)e^x-1
Substituindo em y(x), fica
y(x)=5+(x-1)e^x-1

Passo 6

Concluímos que a única solução do PVI em (-10,11) é dada pela expressão acima, compatível com existência e unicidade.

Resposta

y(x)=5+(x-1)e^x-1

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