Use a definição da transformada de Laplace para mostrar que \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}} para valores apropriados de s.
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição da transformada de Laplace para mostrar que a transformada da função t é \tfrac{1}{s^{2}} para os valores apropriados de s. Informações dadas/necessárias: temos a função f(t)=t definida para t\ge 0 e devemos calcular
A integral converge se esse limite existe finito. Para funções com fator exponencial e^{-st} com s possivelmente complexo, a condição natural para decaimento é \Re(s)>0; mais adiante eu mostro isso.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso f(t)=t, escrevo a integral truncada:
I(R)=\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt,
e depois tomarei o limite I=\lim_{R\to\infty} I(R). Para calcular I(R) uso integração por partes. Antes, observo que precisamos de s\neq 0 para manipular antiderivadas envolvendo 1/s; a convergência para o limite infinito exigirá mais: \Re(s)>0.
Passo 4
Vou explicar e aplicar a fórmula de integração por partes. A fórmula é, para funções diferenciáveis u(t) e v(t):
\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt = -\frac{R}{s}e^{-sR} -\frac{1}{s^{2}}e^{-sR} + \frac{1}{s^{2}}.
Reescrevendo:
\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s^{2}} -\left(\frac{R}{s}e^{-sR} +\frac{1}{s^{2}}e^{-sR}\right).
Passo 6
Agora tomo o limite R\to\infty. Preciso verificar os termos com e^{-sR}. Se s for real e positivo, e^{-sR}\to 0 e também R e^{-sR}\to 0 (é um fato padrão: exponencial domina qualquer potência). Para s complexo, escrevo s=\sigma+i\omega e uso |e^{-sR}|=e^{-\sigma R}; então se \sigma=\Re(s)>0 temos e^{-\sigma R}\to 0 e também R e^{-\sigma R}\to 0. Logo, para \Re(s)>0 os termos entre parênteses tendem a zero. Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s^{2}}.
Assim a integral converge e vale \tfrac{1}{s^{2}} sempre que \Re(s)>0.
Passo 7
Comento rapidamente os casos fora de \Re(s)>0: se s=0 a integral vira \int_{0}^{\infty} t\,dt, que diverge. Se \Re(s)<0 então e^{-st} cresce em módulo como e^{-\Re(s) t}=e^{|\Re(s)|t} e a integral também diverge. Portanto a condição necessária e suficiente de convergência aqui é \Re(s)>0.
Resposta
\mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para \Re(s)>0.