Use a definição da transformada de Laplace para mostrar que \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}} para valores apropriados de s.

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição da transformada de Laplace para mostrar que a transformada da função t é \tfrac{1}{s^{2}} para os valores apropriados de s. Informações dadas/necessárias: temos a função f(t)=t definida para t\ge 0 e devemos calcular
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\,dt,
verificando para quais s essa integral imprópria converge.

Passo 2

Vou recordar a definição da transformada de Laplace e o que significa convergência da integral imprópria. A definição é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde a integral é um limite de integrais definidas:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} e^{-st}f(t)\,dt.
A integral converge se esse limite existe finito. Para funções com fator exponencial e^{-st} com s possivelmente complexo, a condição natural para decaimento é \Re(s)>0; mais adiante eu mostro isso.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso f(t)=t, escrevo a integral truncada:
I(R)=\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt,
e depois tomarei o limite I=\lim_{R\to\infty} I(R). Para calcular I(R) uso integração por partes. Antes, observo que precisamos de s\neq 0 para manipular antiderivadas envolvendo 1/s; a convergência para o limite infinito exigirá mais: \Re(s)>0.

Passo 4

Vou explicar e aplicar a fórmula de integração por partes. A fórmula é, para funções diferenciáveis u(t) e v(t):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui escolho u=t e dv=e^{-st}\,dt. Então
du=dt,\qquad v=\int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st},
válido sempre que s\neq 0. (Explicação rápida: a derivada de e^{-st} é -s e^{-st}, então uma primitiva é -\tfrac{1}{s}e^{-st}.)

Passo 5

Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt = \left. -\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{R} + \int_{0}^{R} \frac{1}{s} e^{-st}\,dt.
Agora calculo a segunda integral (que é simples):
\int_{0}^{R} \frac{1}{s} e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\left.\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right|_{0}^{R} = -\frac{1}{s^{2}}\left(e^{-sR}-1\right).
Juntando as duas partes obtenho
\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt = -\frac{R}{s}e^{-sR} -\frac{1}{s^{2}}e^{-sR} + \frac{1}{s^{2}}.
Reescrevendo:
\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s^{2}} -\left(\frac{R}{s}e^{-sR} +\frac{1}{s^{2}}e^{-sR}\right).

Passo 6

Agora tomo o limite R\to\infty. Preciso verificar os termos com e^{-sR}. Se s for real e positivo, e^{-sR}\to 0 e também R e^{-sR}\to 0 (é um fato padrão: exponencial domina qualquer potência). Para s complexo, escrevo s=\sigma+i\omega e uso |e^{-sR}|=e^{-\sigma R}; então se \sigma=\Re(s)>0 temos e^{-\sigma R}\to 0 e também R e^{-\sigma R}\to 0. Logo, para \Re(s)>0 os termos entre parênteses tendem a zero. Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} t e^{-st}\,dt = \frac{1}{s^{2}}.
Assim a integral converge e vale \tfrac{1}{s^{2}} sempre que \Re(s)>0.

Passo 7

Comento rapidamente os casos fora de \Re(s)>0: se s=0 a integral vira \int_{0}^{\infty} t\,dt, que diverge. Se \Re(s)<0 então e^{-st} cresce em módulo como e^{-\Re(s) t}=e^{|\Re(s)|t} e a integral também diverge. Portanto a condição necessária e suficiente de convergência aqui é \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para \Re(s)>0.

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