Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e a e b números reais. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(c) Se AB é a matriz nula, então A ou B são a matriz nula;

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem e pergunta se a afirmação
“Se AB é a matriz nula, então A ou B é a matriz nula”
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o conceito de divisores de zero no anel das matrizes.

Passo 2

Em geral, o anel das matrizes n\times n sobre um corpo (ou sobre \mathbb{R}) não é um domínio íntegro quando n\ge2. Isso significa que existem “divisores de zero”: matrizes não nulas cuja multiplicação dá a matriz nula. Portanto, não vale a propriedade de que “produto nulo implica algum fator nulo”.

Passo 3

Para dar um contra-exemplo concreto, basta escolher n=2 e definir
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculamos
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot0 + 0\cdot0\\[6pt] 0\cdot0 + 0\cdot1 & 0\cdot0 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui AB é a matriz nula, mas A\neq0 e B\neq0.]

Passo 4

Como encontramos A\neq0 e B\neq0 tais que AB=0, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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