Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e
e
números reais. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(c) Se AB é a matriz nula, então A ou B são a matriz nula;
(c) Se AB é a matriz nula, então A ou B são a matriz nula;
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
e
de mesma ordem e pergunta se a afirmação
“Se é a matriz nula, então
ou
é a matriz nula”
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o conceito de divisores de zero no anel das matrizes.
“Se
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o conceito de divisores de zero no anel das matrizes.
Passo 2
Em geral, o anel das matrizes
sobre um corpo (ou sobre
) não é um domínio íntegro quando
. Isso significa que existem “divisores de zero”: matrizes não nulas cuja multiplicação dá a matriz nula. Portanto, não vale a propriedade de que “produto nulo implica algum fator nulo”.
Passo 3
Para dar um contra-exemplo concreto, basta escolher
e definir
Calculamos
Aqui
é a matriz nula, mas
e
.]
Passo 4
Como encontramos
e
tais que
, a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa.