Determine \mathrm{o}(\mathrm{s}) valore( s ) de k para q a reta (\mathrm{k}+4) \mathrm{x}+\left(9-\mathrm{k}^{2}\right) \mathrm{y}+(\mathrm{k}-6)^{2}=0.
a) seja paralela ao eixo x ;
b) seja paralela ao eixo y;
c) passe pela origem.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
(k+4)\,x + \bigl(9 - k^2\bigr)\,y + (k-6)^2 = 0
e pede para encontrar os valores de k tais que a reta seja:
– paralela ao eixo x,
– paralela ao eixo y,
– passe pela origem.
Vamos usar a forma geral de reta A x + B y + C = 0, em que
A = k+4, \quad B = 9 - k^2, \quad C = (k-6)^2.

Passo 2

Para que a reta seja paralela ao eixo x (horizontal), sua inclinação deve ser zero. Numa reta A x + B y + C = 0 a inclinação é -A/B, então precisamos de
-A/B = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = 0 \quad\text{e}\quad B \neq 0.
Aqui A = k+4, logo k+4=0 k=-4. Verificando B = 9 - (-4)^2 = 9 - 16 = -7 \neq 0, está tudo certo.

Passo 3

Para que a reta seja paralela ao eixo y (vertical), a inclinação é indefinida, o que ocorre se B=0 e A\neq0. Como B = 9 - k^2, temos
9 - k^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad k = 3 \text{ ou } k = -3.
Em cada caso A = k+4 vale 7 ou 1, ambos não nulos, então são válidos.

Passo 4

Para que a reta passe pela origem (0,0), basta substituir x=0, y=0 na equação e exigir que ela seja satisfeita, isto é, C=0. Como C=(k-6)^2, precisamos de
(k-6)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 6.

Resposta

a) k = -4
b) k = -3 ou k = 3
c) k = 6

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