Indique se as matrizes estão na forma escalonada, na forma escalonada reduzida por linha ou não está em qualquer dessas duas formas.
(b) \left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 4\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e queremos verificar se ela está em forma escalonada por linhas, em forma escalonada reduzida por linhas ou em nenhuma delas. O conteúdo envolvido é o conceito de forma escalonada de matrizes (row echelon form) e forma escalonada reduzida por linhas (reduced row echelon form).

Passo 2

Definições básicas:
  1. Uma matriz está em forma escalonada por linhas se
  • Toda linha composta só de zeros fica abaixo de linhas não nulas;
  • O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula fica à direita do pivot da linha acima;
  • Os elementos abaixo de cada pivot são todos zeros.
  1. Está em forma escalonada reduzida por linhas se, além de satisfazer as condições acima, cada pivot é igual a 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna.

Passo 3

Vamos identificar os pivots de A:
  • Na primeira linha, o pivot é 1 na coluna 1.
  • Na segunda linha, o pivot é 1 na coluna 3.
  • Na terceira linha, o pivot é 1 na coluna 2.
Para estar em forma escalonada, os pivots devem deslocar-se sempre para a direita conforme descemos de linha. Aqui, os pivots aparecem nas colunas 1, 3 e depois 2. Note que 2<3, ou seja, o pivot da terceira linha voltou para a esquerda em relação ao da linha anterior, violando a condição de crescimento estrito das posições dos pivots.

Passo 4

Como falha a condição de ordenação dos pivots, A não está em forma escalonada. Consequentemente, também não pode estar em forma escalonada reduzida por linhas (que exige, antes de tudo, estar em forma escalonada).

Resposta

A matriz não está em forma escalonada nem em forma escalonada reduzida por linhas.

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