Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 6. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Todas sāo verdadeiras.
I) Todo subconjunto LI de
com 6 vetores é uma base de
.
II) Todo subconjunto de
com menos do que 6 vetores é LI.
III) Existe um subconjunto de
com 5 vetores que é LI e não gera $V.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II e III são verdadeiras.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Todas sāo verdadeiras.
I) Todo subconjunto LI de
II) Todo subconjunto de
III) Existe um subconjunto de
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial com
e apresenta três afirmações sobre conjuntos de vetores em
. Para resolver, vamos usar fatos clássicos de teoria de dimensão:
- Em um espaço de dimensão
, toda família de vetores linearmente independente (LI) com exatamente vetores é base. - Qualquer conjunto com mais de
vetores é linearmente dependente (LD). - Em dimensão
, podem existir conjuntos LI com menos de vetores, mas esses não geram todo o espaço.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Todo subconjunto LI de
com 6 vetores é uma base de
.”
Como , qualquer conjunto LI de
vetores tem dimensão igual à do espaço e, portanto, gera
. Logo, I é verdadeira.
Como
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto de
com menos do que 6 vetores é LI.”
Em geral, um conjunto com menos de vetores pode ser LI ou LD (por exemplo, basta incluir o vetor zero ou vetores repetidos). Não há garantia de independência para todos os subconjuntos com menos de
vetores. Logo, II é falsa.
Em geral, um conjunto com menos de
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Existe um subconjunto de
com 5 vetores que é LI e não gera
.”
Basta tomar uma base de com 6 vetores e remover um deles: o conjunto restante tem 5 vetores, continua LI (subconjunto de base) e não gera todo
(precisa do vetor removido). Logo, III é verdadeira.
Basta tomar uma base de
Passo 5
Concluímos que apenas as afirmações I e III são verdadeiras, correspondendo à alternativa (D).
Resposta
(D) Apenas I e III são verdadeiras.